Страница 46 номер 5.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\log_{9} 2\) и 3; 2) \(\log_{\frac{1}{5}} 27\) и \(-2\); 3) \(\log_{\sqrt{3}} 26\) и 6; 4) \(\log_{16} 0{,}1\) и \(-\frac{3}{4}\).
1) \(3 = \log_{9} 9^{3} = \log_{9} 729\). Основание \(9 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенства \(2 < 729\) получаем \(\log_{9} 2 < 3\).
2) \(-2 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{5}} 25\). Основание меньше единицы — функция убывающая, и из неравенства \(27 > 25\) получаем \(\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2\).
3) \(6 = \log_{\sqrt{3}} \left(\sqrt{3}\right)^{6} = \log_{\sqrt{3}} 27\). Основание \(\sqrt{3} > 1\) — функция возрастающая, и из неравенства \(26 < 27\) получаем \(\log_{\sqrt{3}} 26 < 6\).
4) \(16^{\frac{3}{4}} = \left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8\), поэтому \(16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) и \(-\frac{3}{4} = \log_{16} 0{,}125\). Основание \(16 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенства \(0{,}1 < 0{,}125\) получаем \(\log_{16} 0{,}1 < -\frac{3}{4}\).
Ответ: 1) \(\log_{9} 2 < 3\); 2) \(\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2\); 3) \(\log_{\sqrt{3}} 26 < 6\); 4) \(\log_{16} 0{,}1 < -\frac{3}{4}\).
Сравните: 1) \(\log_{9} 2\) и 3; 2) \(\log_{\frac{1}{5}} 27\) и \(-2\); 3) \(\log_{\sqrt{3}} 26\) и 6; 4) \(\log_{16} 0{,}1\) и \(-\frac{3}{4}\).
Чтобы сравнить логарифм с числом, запишем это число логарифмом по тому же основанию, пользуясь равенством \(b = \log_{a} a^{b}\), а затем воспользуемся монотонностью логарифмической функции.
1) \(3 = \log_{9} 9^{3} = \log_{9} 729\). Функция \(y = \log_{9} x\) возрастающая, так как \(9 > 1\). Так как \(2 < 729\), то \(\log_{9} 2 < \log_{9} 729\), то есть \(\log_{9} 2 < 3\).
2) \(-2 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{5}} 25\). Функция \(y = \log_{\frac{1}{5}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы. Так как \(27 > 25\), то \(\log_{\frac{1}{5}} 27 < \log_{\frac{1}{5}} 25\), то есть \(\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2\).
3) \(6 = \log_{\sqrt{3}} \left(\sqrt{3}\right)^{6} = \log_{\sqrt{3}} 27\). Функция \(y = \log_{\sqrt{3}} x\) возрастающая, так как \(\sqrt{3} > 1\). Так как \(26 < 27\), то \(\log_{\sqrt{3}} 26 < \log_{\sqrt{3}} 27\), то есть \(\log_{\sqrt{3}} 26 < 6\).
4) \(-\frac{3}{4} = \log_{16} 16^{-\frac{3}{4}}\), причём \(16^{\frac{3}{4}} = \left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8\), поэтому \(16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) и \(-\frac{3}{4} = \log_{16} 0{,}125\). Функция \(y = \log_{16} x\) возрастающая, так как \(16 > 1\). Так как \(0{,}1 < 0{,}125\), то \(\log_{16} 0{,}1 < \log_{16} 0{,}125\), то есть \(\log_{16} 0{,}1 < -\frac{3}{4}\).
Ответ: 1) \(\log_{9} 2 < 3\); 2) \(\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2\); 3) \(\log_{\sqrt{3}} 26 < 6\); 4) \(\log_{16} 0{,}1 < -\frac{3}{4}\).
