Страница 45 номер 5.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте на одной координатной плоскости графики функций \(y = \log_{3} x\) и \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\). Каково взаимное расположение построенных графиков?
Пусть \(\log_{\frac{1}{3}} x = t\). Тогда \(\left(\frac{1}{3}\right)^{t} = x\), то есть \(3^{-t} = x\), откуда \(\log_{3} x = -t\). Значит, \(\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_{3} x\): каждому значению аргумента вторая функция ставит в соответствие число, противоположное значению первой.
Обе функции определены на промежутке \((0;\ +\infty)\), обращаются в нуль при \(x = 1\), и ось ординат — их вертикальная асимптота; функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, так как \(3 > 1\), а функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы.
Точки первой кривой: \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\), \((9;\ 2)\); второй: \(\left(\frac{1}{9};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ -1)\), \((9;\ -2)\).
Точки \((x;\ y)\) и \((x;\ -y)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому симметричны и графики. Общая точка одна — \((1;\ 0)\).
Ответ: графики симметричны относительно оси абсцисс; их единственная общая точка — \((1;\ 0)\).
Постройте на одной координатной плоскости графики функций \(y = \log_{3} x\) и \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\). Каково взаимное расположение построенных графиков?
Пусть \(\log_{\frac{1}{3}} x = t\). Тогда по определению логарифма \(\left(\frac{1}{3}\right)^{t} = x\), то есть \(3^{-t} = x\), откуда \(\log_{3} x = -t\). Значит, \(\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_{3} x\): каждому значению аргумента вторая функция ставит в соответствие число, противоположное значению первой.
Обе функции определены на промежутке \((0;\ +\infty)\) и обращаются в нуль при \(x = 1\). Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, так как её основание \(3 > 1\); функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы. Ось ординат служит вертикальной асимптотой обеих кривых.
Кривая \(y = \log_{3} x\) проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\), \((9;\ 2)\), а вторая кривая — через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ -1)\), \((9;\ -2)\). Построим оба графика в одной системе координат.
Точки \((x;\ y)\) и \((x;\ -y)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому симметричны относительно этой оси и сами графики. Общая точка у них одна — \((1;\ 0)\).
Ответ: графики симметричны относительно оси абсцисс; их единственная общая точка — \((1;\ 0)\).
