Страница 45 номер 5.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте на одной координатной плоскости графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = \log_{2} \frac{1}{x}\). Каково взаимное расположение построенных графиков?
\(\log_{2} \frac{1}{x} = \log_{2} x^{-1} = -\log_{2} x\): каждому значению аргумента вторая функция ставит в соответствие число, противоположное значению первой.
Обе функции определены на промежутке \((0;\ +\infty)\), обращаются в нуль при \(x = 1\), и ось ординат — их вертикальная асимптота; функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, так как \(2 > 1\), а функция \(y = \log_{2} \frac{1}{x}\) убывающая.
Точки первой кривой: \(\left(\frac{1}{4};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\); второй: \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\).
Точки \((x;\ y)\) и \((x;\ -y)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому симметричны и графики. Общая точка одна — \((1;\ 0)\): только при \(x = 1\) значение совпадает с противоположным ему.
Ответ: графики симметричны относительно оси абсцисс; их единственная общая точка — \((1;\ 0)\).
Постройте на одной координатной плоскости графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = \log_{2} \frac{1}{x}\). Каково взаимное расположение построенных графиков?
По свойству логарифма степени \(\log_{2} \frac{1}{x} = \log_{2} x^{-1} = -\log_{2} x\), то есть каждому значению аргумента вторая функция ставит в соответствие число, противоположное значению первой.
Обе функции определены на промежутке \((0;\ +\infty)\) и обращаются в нуль при \(x = 1\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, так как её основание \(2 > 1\); функция \(y = \log_{2} \frac{1}{x}\) убывающая. Ось ординат служит вертикальной асимптотой обеих кривых.
Кривая \(y = \log_{2} x\) проходит через точки \(\left(\frac{1}{4};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\), а вторая кривая — через точки \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\). Построим оба графика в одной системе координат.
Точки \((x;\ y)\) и \((x;\ -y)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому симметричны относительно этой оси и сами графики. Общая точка у них одна — \((1;\ 0)\): только при \(x = 1\) значение и противоположное ему значение совпадают.
Ответ: графики симметричны относительно оси абсцисс; их единственная общая точка — \((1;\ 0)\).
