Вопросы после параграфа §8 на странице 90, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1. Какая фигура является изображением треугольника? параллелограмма? трапеции? 2. Опишите, как построить изображение призмы; прямоугольного параллелепипеда. 3. Какая фигура является изображением тетраэдра?
Вид изображения зависит от того, как расположена прямая \(l\), задающая направление проектирования.
Если прямая \(l\) параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то все точки многоугольника проектируются в точки одной прямой и изображением многоугольника является отрезок: изображением треугольника \(ABC\) служит отрезок \(A_1B_1\), которому принадлежит и точка \(C_1\).
Пусть теперь прямая \(l\) пересекает плоскость многоугольника. Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник, но величины углов и отношения отрезков, вообще говоря, не сохраняются: изображением равнобедренного и равностороннего треугольников может быть разносторонний треугольник, а изображением прямоугольного треугольника — как тупоугольный треугольник, так и остроугольный.
Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм.
Изображением трапеции является трапеция, однако вид трапеции (равнобокая, прямоугольная) может не сохраняться: у равнобокой трапеции \(ABCD\) боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а у её изображения — трапеции \(A_1B_1C_1D_1\) — они не равны.
Ответ: если прямая \(l\) параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок; если же прямая \(l\) пересекает плоскость многоугольника, то изображением треугольника является треугольник, изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) — параллелограмм, а изображением трапеции — трапеция, причём вид трапеции может не сохраняться.
Поверхность \(n\)-угольной призмы состоит из двух равных \(n\)-угольников и \(n\) параллелограммов, поэтому сначала строят многоугольник, являющийся изображением её основания, а затем через каждую вершину этого многоугольника проводят прямую, параллельную некоторой заранее выбранной прямой, и откладывают на этих прямых равные отрезки.
Концы этих отрезков являются изображением вершин другого основания призмы; осталось соединить эти точки.
Изображением всех граней прямоугольного параллелепипеда и куба являются параллелограммы. Однако для большей наглядности плоскость изображений выбирают параллельной одной из граней: фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проектирования, изображается равной себе, поэтому переднюю и заднюю грани изображают в виде двух равных прямоугольников или квадратов.
Значит, изображение прямоугольного параллелепипеда строят так: чертят прямоугольник — изображение передней грани, проводят через каждую его вершину равные параллельные отрезки и соединяют концы этих отрезков; получается равный первому прямоугольник — изображение задней грани.
Ответ: изображение призмы строят так: сначала строят многоугольник — изображение основания, затем через каждую его вершину проводят прямую, параллельную заранее выбранной прямой, откладывают на этих прямых равные отрезки и соединяют концы этих отрезков; изображение прямоугольного параллелепипеда строят так: чертят прямоугольник — изображение передней грани, проводят через каждую его вершину равные параллельные отрезки и соединяют концы этих отрезков, получая равный первому прямоугольник — изображение задней грани.
По теореме Польке—Шварца изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями.
Четырёхугольник при этом может быть выпуклым. Тогда его диагонали \(AC\) и \(BD\), изображающие противолежащие рёбра тетраэдра, пересекаются, хотя сами эти рёбра скрещиваются.
Четырёхугольник может быть и невыпуклым — таков он, например, когда вершина \(B\) лежит внутри треугольника \(ACD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) такого четырёхугольника не пересекаются, и он вместе с ними тоже служит изображением тетраэдра.
Ответ: изображением тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями — как выпуклый, так и невыпуклый.
1. Какая фигура является изображением треугольника? параллелограмма? трапеции? 2. Опишите, как построить изображение призмы; прямоугольного параллелепипеда. 3. Какая фигура является изображением тетраэдра?
Вид изображения зависит от того, как расположена прямая \(l\), задающая направление проектирования.
Если прямая \(l\) параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок: все точки многоугольника проектируются в точки одной прямой. Так, все три вершины треугольника \(ABC\) переходят в точки одной прямой, и изображением треугольника служит отрезок с концами в двух крайних из точек \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\).
Пусть теперь прямая \(l\) пересекает плоскость многоугольника.
Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник. При этом величины углов и отношения отрезков, вообще говоря, не сохраняются. Поэтому изображением равнобедренного и равностороннего треугольников может быть разносторонний треугольник, а изображением прямоугольного треугольника — как тупоугольный треугольник, так и остроугольный.
Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм.
Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция. Однако вид трапеции (равнобокая, прямоугольная) может не сохраняться: у равнобокой трапеции \(ABCD\) боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а у её изображения — трапеции \(A_1B_1C_1D_1\) — они не равны.
Ответ: если прямая \(l\) параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок; если же прямая \(l\) пересекает плоскость многоугольника, то изображением треугольника является треугольник, изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) — параллелограмм, а изображением трапеции — трапеция, причём вид трапеции может не сохраняться.
Поверхность \(n\)-угольной призмы состоит из двух равных \(n\)-угольников и \(n\) параллелограммов. Поэтому при изображении призмы можно сначала построить многоугольник, являющийся изображением её основания. Затем через каждую вершину многоугольника провести прямую, параллельную некоторой заранее выбранной прямой, и отложить на этих прямых равные отрезки.
Концы этих отрезков являются изображением вершин другого основания призмы. Осталось соединить эти точки.
При изображении частных видов призмы, прямоугольного параллелепипеда или куба исходят из того, что изображением всех граней этих фигур являются параллелограммы. Однако, для того чтобы добиться большей наглядности, как правило, плоскость изображений выбирают параллельной одной из граней. Если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной. Поэтому две грани, плоскости которых параллельны плоскости изображения (их обычно называют передняя и задняя грани), изображают в виде двух равных прямоугольников или квадратов.
Значит, изображение прямоугольного параллелепипеда строят так: чертят прямоугольник — изображение передней грани, проводят через каждую его вершину равные параллельные отрезки и соединяют концы этих отрезков; получается равный первому прямоугольник — изображение задней грани.
Ответ: изображение призмы строят так: сначала строят многоугольник — изображение основания, затем через каждую его вершину проводят прямую, параллельную заранее выбранной прямой, откладывают на этих прямых равные отрезки и соединяют концы этих отрезков; изображение прямоугольного параллелепипеда строят так: чертят прямоугольник — изображение передней грани, проводят через каждую его вершину равные параллельные отрезки и соединяют концы этих отрезков, получая равный первому прямоугольник — изображение задней грани.
Немецкие математики Карл Польке и Герман Шварц доказали, что изображением любого тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями. Этот факт называют теоремой Польке—Шварца.
Четырёхугольник при этом может быть выпуклым. Тогда его диагонали \(AC\) и \(BD\), изображающие противолежащие рёбра тетраэдра, пересекаются, хотя сами эти рёбра скрещиваются.
Четырёхугольник может быть и невыпуклым — таков он, например, когда вершина \(B\) лежит внутри треугольника \(ACD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) такого четырёхугольника не пересекаются, и он вместе с ними тоже служит изображением тетраэдра.
Ответ: изображением тетраэдра может служить с точностью до подобия любой четырёхугольник вместе с его диагоналями — как выпуклый, так и невыпуклый.
