Страница 90 номер 8.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) является изображением прямоугольника \(ABCD\) (рис. 8.23). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону \(BC\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), а \(OH\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(O\) на сторону \(BC\).
Прямые \(OH\) и \(AB\) перпендикулярны прямой \(BC\) и лежат в одной плоскости, поэтому \(OH \parallel AB\). Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина диагонали \(AC\), и прямая \(OH\) проходит через середину стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AB\). Поэтому \(H\) — середина стороны \(BC\).
Изображением точки \(O\) служит середина диагонали \(A_1C_1\), то есть точка \(O_1\) пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а изображением точки \(H\) — середина \(H_1\) стороны \(B_1C_1\) (теорема 7.3). Изображением перпендикуляра \(OH\) является отрезок \(O_1H_1\) (теорема 7.1).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(O_1H_1\), где \(O_1\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а \(H_1\) — середина стороны \(B_1C_1\).
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) является изображением прямоугольника \(ABCD\) (рис. 8.23). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону \(BC\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), а \(OH\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(O\) на сторону \(BC\).
В прямоугольнике \(ABCD\) прямые \(OH\) и \(AB\) перпендикулярны прямой \(BC\) и лежат в одной плоскости, поэтому \(OH \parallel AB\). Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина диагонали \(AC\). В треугольнике \(ABC\) прямая, проходящая через середину стороны \(AC\) параллельно стороне \(AB\), пересекает сторону \(BC\) в её середине, поэтому \(H\) — середина стороны \(BC\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому изображением точки \(O\) служит середина диагонали \(A_1C_1\), то есть точка \(O_1\) пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а изображением точки \(H\) — середина \(H_1\) стороны \(B_1C_1\).
Параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1), значит, изображением перпендикуляра \(OH\) является отрезок \(O_1H_1\).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(O_1H_1\), где \(O_1\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а \(H_1\) — середина стороны \(B_1C_1\).
