Страница 82 номер 7.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CP\). Найдите площадь треугольника \(BPK\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 16 см\(^2\) и угол \(ABC\) равен \(30^\circ\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — остроугольный
\(AK\) и \(CP\) — высоты
\(S_{ABC} = 16\) см\(^2\)
\(\angle ABC = 30^\circ\)
Найти: площадь треугольника \(BPK\).
Решение: Треугольник \(ABC\) остроугольный, поэтому основания его высот лежат на сторонах треугольника: точка \(K\) — на стороне \(BC\), точка \(P\) — на стороне \(AB\).
Треугольник \(BPC\) прямоугольный с прямым углом \(BPC\), поэтому \(BP = BC \cos \angle B\). Треугольник \(BKA\) прямоугольный с прямым углом \(BKA\), поэтому \(BK = BA \cos \angle B\). Отсюда
\[\frac{BP}{BC} = \frac{BK}{BA} = \cos \angle B.\]
В треугольниках \(BPK\) и \(BCA\) угол \(B\) общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны, поэтому эти треугольники подобны, и коэффициент подобия равен \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
\[\frac{S_{BPK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.\]
Значит, \(S_{BPK} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12\) (см\(^2\)).
Ответ: 12 см\(^2\).
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CP\). Найдите площадь треугольника \(BPK\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 16 см\(^2\) и угол \(ABC\) равен \(30^\circ\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — остроугольный
\(AK\) и \(CP\) — высоты
\(S_{ABC} = 16\) см\(^2\)
\(\angle ABC = 30^\circ\)
Найти: площадь треугольника \(BPK\).
Решение: Треугольник \(ABC\) остроугольный, поэтому основания его высот лежат на сторонах треугольника: точка \(K\) — на стороне \(BC\), точка \(P\) — на стороне \(AB\).
Треугольник \(BPC\) прямоугольный с прямым углом \(BPC\), поэтому катет \(BP\) и гипотенуза \(BC\) связаны равенством \(BP = BC \cos \angle B\). Треугольник \(BKA\) прямоугольный с прямым углом \(BKA\), поэтому \(BK = BA \cos \angle B\).
Отсюда
\[\frac{BP}{BC} = \frac{BK}{BA} = \cos \angle B.\]
В треугольниках \(BPK\) и \(BCA\) угол \(B\) общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны, поэтому эти треугольники подобны, и коэффициент подобия равен \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому
\[\frac{S_{BPK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}.\]
Значит, \(S_{BPK} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12\) (см\(^2\)).
Ответ: 12 см\(^2\).
