Вопросы после параграфа §7 на странице 79, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\). 2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом. 3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией. 4. Какое преобразование фигуры называют движением? 5. Какие фигуры называют равными? 6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. 7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.
Если каждой точке фигуры \(F\) по определённому правилу поставить в соответствие единственную точку пространства, то все сопоставленные точки образуют некоторую фигуру \(F_1\). В этом случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\). Фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), а фигуру \(F\) называют прообразом фигуры \(F_1\).
Ответ: говорят так, когда каждой точке фигуры \(F\) по определённому правилу поставлена в соответствие единственная точка пространства и все сопоставленные точки образуют фигуру \(F_1\); фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), а фигуру \(F\) — прообразом фигуры \(F_1\).
Преобразование фигуры, при котором все её точки смещают в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называют параллельным переносом в пространстве.
У тетраэдра \(DABC\) и полученного из него параллельным переносом тетраэдра \(D_1A_1B_1C_1\) смещения \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) имеют одно и то же направление и одну и ту же длину.
Ответ: параллельным переносом называют преобразование фигуры, при котором все её точки смещают в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Пусть дана точка \(O\). Если каждой точке \(X\) фигуры поставить в соответствие точку \(X_1\), симметричную точке \(X\) относительно точки \(O\), то получится преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно точки или центральной симметрией.
У тетраэдра \(DABC\) и симметричного ему относительно точки \(O\) тетраэдра \(D_1A_1B_1C_1\) точка \(O\) является серединой отрезка, соединяющего каждую вершину с её образом.
Ответ: центральной симметрией (симметрией относительно точки \(O\)) называют преобразование фигуры, при котором каждой её точке \(X\) ставят в соответствие точку \(X_1\), симметричную точке \(X\) относительно точки \(O\).
Преобразование фигуры \(F\), сохраняющее расстояние между её точками, называют движением фигуры \(F\).
Ответ: движением фигуры \(F\) называют преобразование этой фигуры, сохраняющее расстояние между её точками.
Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой фигуры.
Ответ: две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой фигуры.
Пусть даны плоскость \(\alpha\), прямая \(l\), пересекающая эту плоскость, и фигура \(F\). Через каждую точку фигуры \(F\) проведём прямую, параллельную прямой \(l\) (если точка фигуры \(F\) принадлежит прямой \(l\), то в качестве проведённой прямой будем рассматривать саму прямую \(l\)). Точки пересечения всех проведённых прямых с плоскостью \(\alpha\) образуют некоторую фигуру \(F_1\). Описанное преобразование фигуры \(F\) называют параллельным проектированием, а фигуру \(F_1\) — параллельной проекцией (изображением) фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(l\).
Ответ: параллельным проектированием называют такое преобразование фигуры \(F\): через каждую точку фигуры проводят прямую, параллельную данной прямой \(l\), пересекающей данную плоскость \(\alpha\), и точки пересечения проведённых прямых с плоскостью \(\alpha\) образуют фигуру \(F_1\) — параллельную проекцию фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(l\).
В этих теоремах рассматривают прямые и отрезки, не параллельные прямой \(l\) и не лежащие на ней.
Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок.
Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая, или две параллельные прямые. Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Здесь отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны, поэтому их проекции лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Слиться в одну прямую проекции не могут: прямая, задающая направление проектирования, пересекает плоскость отрезков \(AB\) и \(CD\), а если бы она была параллельна этой плоскости или лежала в ней, изображением каждого из отрезков был бы отрезок одной и той же прямой. Поэтому \(A_1B_1 \parallel C_1D_1\) и \(\frac{A_1B_1}{C_1D_1} = \frac{AB}{CD}\).
Ответ: параллельной проекцией прямой является прямая, а параллельной проекцией отрезка — отрезок; параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая, или две параллельные прямые, а проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых; отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\). 2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом. 3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией. 4. Какое преобразование фигуры называют движением? 5. Какие фигуры называют равными? 6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. 7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.
Пусть в пространстве задана фигура \(F\). Каждой точке фигуры \(F\) поставим в соответствие по определённому правилу единственную точку пространства. Все сопоставленные точки образуют некоторую фигуру \(F_1\). В этом случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\). При этом фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), а фигуру \(F\) называют прообразом фигуры \(F_1\).
Ответ: говорят так, когда каждой точке фигуры \(F\) по определённому правилу поставлена в соответствие единственная точка пространства и все сопоставленные точки образуют фигуру \(F_1\); фигуру \(F_1\) называют образом фигуры \(F\), а фигуру \(F\) — прообразом фигуры \(F_1\).
Преобразование фигуры, при котором все её точки смещают в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называют параллельным переносом в пространстве.
Изобразим тетраэдр \(DABC\) и тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\), полученный из него параллельным переносом: смещения \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) имеют одно и то же направление и одну и ту же длину.
Ответ: параллельным переносом называют преобразование фигуры, при котором все её точки смещают в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Пусть дана точка \(O\). Если каждой точке \(X\) фигуры поставить в соответствие точку \(X_1\), симметричную точке \(X\) относительно точки \(O\), то получится преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно точки или центральной симметрией.
Изобразим тетраэдр \(DABC\) и тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\), симметричный ему относительно точки \(O\): для каждой вершины точка \(O\) является серединой отрезка, соединяющего эту вершину с её образом.
Ответ: центральной симметрией (симметрией относительно точки \(O\)) называют преобразование фигуры, при котором каждой её точке \(X\) ставят в соответствие точку \(X_1\), симметричную точке \(X\) относительно точки \(O\).
Преобразование фигуры \(F\), сохраняющее расстояние между её точками, называют движением фигуры \(F\).
Параллельный перенос и центральная симметрия в пространстве являются движениями.
Ответ: движением фигуры \(F\) называют преобразование этой фигуры, сохраняющее расстояние между её точками.
Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой фигуры.
Поэтому тетраэдр и его образ при параллельном переносе равны; равны также тетраэдр и его образ при центральной симметрии.
Ответ: две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой фигуры.
Пусть даны плоскость \(\alpha\), прямая \(l\), пересекающая эту плоскость, и фигура \(F\). Через каждую точку фигуры \(F\) проведём прямую, параллельную прямой \(l\) (если точка фигуры \(F\) принадлежит прямой \(l\), то в качестве проведённой прямой будем рассматривать саму прямую \(l\)). Точки пересечения всех проведённых прямых с плоскостью \(\alpha\) образуют некоторую фигуру \(F_1\). Описанное преобразование фигуры \(F\) называют параллельным проектированием.
Фигуру \(F_1\) называют параллельной проекцией фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(l\). Также фигуру \(F_1\) называют изображением фигуры \(F\) на плоскости \(\alpha\) в направлении прямой \(l\).
Ответ: параллельным проектированием называют такое преобразование фигуры \(F\): через каждую точку фигуры проводят прямую, параллельную данной прямой \(l\), пересекающей данную плоскость \(\alpha\), и точки пересечения проведённых прямых с плоскостью \(\alpha\) образуют фигуру \(F_1\) — параллельную проекцию фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) в направлении прямой \(l\).
В этих теоремах рассматривают прямые и отрезки, не параллельные прямой \(l\) и не лежащие на ней.
Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок.
Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая, или две параллельные прямые. Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Возьмём параллельные отрезки \(AB\) и \(CD\), плоскость которых пересекает прямая, задающая направление проектирования, и обозначим их параллельные проекции через \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\). Слиться в одну прямую проекции не могут: это случилось бы, только если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости отрезков \(AB\) и \(CD\) или лежала в ней. Значит, отрезки \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) лежат на параллельных прямых, и \(\frac{A_1B_1}{C_1D_1} = \frac{AB}{CD}\).
Ответ: параллельной проекцией прямой является прямая, а параллельной проекцией отрезка — отрезок; параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая, или две параллельные прямые, а проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых; отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
