Страница 71 номер 6.47, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\)
\(\angle BAC = 60^\circ\)
\(AM\) — медиана
\(CD\) — высота
\(K\) — точка пересечения \(AM\) и \(CD\)

Найти: отношение \(CK : KD\).

Решение:

Пусть \(AC = a\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AC\) прилежит к углу \(BAC\), поэтому \(AC = AB\cos 60^\circ\), откуда \(AB = 2a\). Высота \(CD\) перпендикулярна \(AB\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(ACD\) катет \(AD\) прилежит к углу \(DAC\), равному \(60^\circ\), и \(AD = AC\cos 60^\circ = \frac{a}{2}\). Тогда \[DB = AB - AD = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}.\]

Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\); она пересекает отрезок \(CD\) в точке \(T\). В треугольнике \(CDB\) точка \(M\) — середина стороны \(CB\), а прямая \(MT\) параллельна стороне \(DB\), поэтому \(MT\) — средняя линия этого треугольника: точка \(T\) — середина стороны \(CD\) и \[MT = \frac{1}{2}DB = \frac{3a}{4}.\]

Точка \(K\) лежит на отрезке \(AM\), концы которого лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(MT\), поэтому \(K\) лежит между этими прямыми, а значит, между точками \(D\) и \(T\). Углы \(DKA\) и \(TKM\) — вертикальные, а \(\angle KDA = \angle KTM\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(MT\) и секущей \(CD\). Значит, треугольники \(KDA\) и \(KTM\) подобны, и \[\frac{KD}{KT} = \frac{AD}{MT} = \frac{a}{2} : \frac{3a}{4} = \frac{a}{2} \cdot \frac{4}{3a} = \frac{2}{3}.\]

Пусть \(KD = 2x\), тогда \(KT = 3x\) и \(TD = TK + KD = 5x\). Точка \(T\) — середина отрезка \(CD\), поэтому \(CT = TD = 5x\) и \[CK = CT + TK = 5x + 3x = 8x.\]

Значит, \(CK : KD = 8x : 2x = 4 : 1\).

Ответ: \(CK : KD = 4 : 1\).