Вопросы после параграфа §6 на странице 65, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1. Какие плоскости называют параллельными? 2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны? 4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек. Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то записывают: \(\alpha \parallel \beta\).
Ответ: две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Здесь прямые \(a\) и \(b\) плоскости \(\alpha\) пересекаются, \(a \parallel a_1\) и \(b \parallel b_1\), где \(a_1 \subset \beta\) и \(b_1 \subset \beta\), поэтому \(\alpha \parallel \beta\).
Из этого признака вытекает следствие: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Ответ: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.
У прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллельны, например, грани \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\): \(AA_1 \parallel DD_1\) и \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\) как противоположные стороны прямоугольников-граней, а прямые \(AA_1\) и \(A_1B_1\) пересекаются в точке \(A_1\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(AA_1B_1\) и \(DD_1C_1\) параллельны.
Ответ: два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.
Из этой теоремы вытекают два следствия: если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; все прямые, проходящие через данную точку вне данной плоскости и параллельные ей, лежат в одной плоскости.
Ещё одно свойство параллельных плоскостей: прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны.
Ответ: через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна; если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; все прямые, проходящие через данную точку вне данной плоскости и параллельные ей, лежат в одной плоскости; прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны.
1. Какие плоскости называют параллельными? 2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны? 4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то записывают: \(\alpha \parallel \beta\).
Ответ: две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Если прямые \(a\) и \(b\) плоскости \(\alpha\) пересекаются, \(a \parallel a_1\) и \(b \parallel b_1\), где \(a_1 \subset \beta\) и \(b_1 \subset \beta\), то \(\alpha \parallel \beta\).
Из этого признака вытекает следствие: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Ответ: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.
У прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллельны, например, грани \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\). Действительно, \(AA_1 \parallel DD_1\) и \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\) как противоположные стороны прямоугольников-граней, а прямые \(AA_1\) и \(A_1B_1\) пересекаются в точке \(A_1\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(AA_1B_1\) и \(DD_1C_1\) параллельны.
Ответ: два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.
Из этой теоремы вытекают два следствия.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
Все прямые, проходящие через данную точку вне данной плоскости и параллельные ей, лежат в одной плоскости.
Ещё одно свойство параллельных плоскостей: прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны. Иначе говоря, если \(\alpha \parallel \beta\) и плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(a\), а плоскость \(\beta\) — по прямой \(b\), то \(a \parallel b\).
Ответ: через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна; если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; все прямые, проходящие через данную точку вне данной плоскости и параллельные ей, лежат в одной плоскости; прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны.
