Страница 59 номер 5.56, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как \(3 : 5\), а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(\angle BAD = \angle ABC = 90^\circ\)
\(AB : CD = 3 : 5\) или \(AB : CD = 5 : 3\)
\(AD - BC = 16\) см
меньшая диагональ равна \(13\) см
Найти: площадь трапеции.
Решение:
Проведём высоту \(CH\) трапеции, точка \(H\) лежит на основании \(AD\). У четырёхугольника \(ABCH\) три прямых угла, значит, он прямоугольник, и потому \(CH = AB\), \(AH = BC\). Тогда \[HD = AD - AH = AD - BC = 16 \text{ (см)}.\]
В прямоугольном треугольнике \(CHD\) гипотенуза \(CD\) больше катета \(CH = AB\). Значит, отношение \(3 : 5\) отвечает сторонам в порядке \(AB : CD\), а обратный случай невозможен.
Пусть \(AB = 3x\) см, тогда \(CD = 5x\) см и \(CH = 3x\) см. По теореме Пифагора для треугольника \(CHD\) \[CD^2 = CH^2 + HD^2, \quad 25x^2 = 9x^2 + 256.\]
Отсюда \(16x^2 = 256\), \(x^2 = 16\), \(x = 4\). Значит, \(AB = CH = 12\) см, \(CD = 20\) см.
В прямоугольных треугольниках \(ABC\) и \(ABD\) имеем \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) и \(BD^2 = AB^2 + AD^2\). Так как \(AD > BC\), то \(BD > AC\), то есть меньшая диагональ — это \(AC\), и \(AC = 13\) см.
Из треугольника \(ABC\) получаем \(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 169 - 144 = 25\), откуда \(BC = 5\) см. Тогда \(AD = BC + 16 = 21\) см, и площадь трапеции равна \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{5 + 21}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156 \text{ (см}^2).\]
Ответ: \(156\) см\(^2\).
Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как \(3 : 5\), а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция, \(AD \parallel BC\), \(\angle BAD = \angle ABC = 90^\circ\)
\(AB : CD = 3 : 5\) или \(AB : CD = 5 : 3\)
\(AD - BC = 16\) см
меньшая диагональ равна \(13\) см
Найти: площадь трапеции.
Решение:
Проведём высоту \(CH\) трапеции, точка \(H\) лежит на основании \(AD\). У четырёхугольника \(ABCH\) три прямых угла, значит, он прямоугольник, и потому \(CH = AB\), \(AH = BC\). Тогда \[HD = AD - AH = AD - BC = 16 \text{ (см)}.\]
В прямоугольном треугольнике \(CHD\) сторона \(CD\) — гипотенуза, а \(CH\) — катет, поэтому \(CD > CH = AB\). Значит, отношение \(3 : 5\) отвечает сторонам в порядке \(AB : CD\), а обратный случай невозможен.
Пусть \(AB = 3x\) см, тогда \(CD = 5x\) см и \(CH = 3x\) см. По теореме Пифагора для треугольника \(CHD\) \[CD^2 = CH^2 + HD^2, \quad 25x^2 = 9x^2 + 256.\]
Отсюда \(16x^2 = 256\), \(x^2 = 16\), \(x = 4\). Значит, \(AB = CH = 12\) см, \(CD = 20\) см.
Сравним диагонали. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(B\) имеем \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), а в прямоугольном треугольнике \(ABD\) с прямым углом при вершине \(A\) имеем \(BD^2 = AB^2 + AD^2\). Так как \(AD > BC\), то \(BD > AC\), то есть меньшая диагональ — это \(AC\), и \(AC = 13\) см.
Из треугольника \(ABC\) получаем \(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 169 - 144 = 25\), откуда \(BC = 5\) см. Тогда \(AD = BC + 16 = 21\) см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{5 + 21}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156 \text{ (см}^2).\]
Ответ: \(156\) см\(^2\).
