Страница 65 номер 6.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение: 1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости; 2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны; 3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?
1) Утверждение неверно.
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямые \(AB\) и \(AD\) плоскости \(ABC\) пересекаются в точке \(A\), прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) лежат в плоскости \(A_1B_1C_1\), причём \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AD \parallel A_1D_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны.
Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), прямая \(A_1D_1\) — в плоскости \(A_1B_1C_1\). При этом прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(ADD_1\), а прямая \(AB\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), поскольку точка \(B\) плоскости \(ADD_1\) не принадлежит. Точка \(A\) прямой \(A_1D_1\) не принадлежит, поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(A_1D_1\) скрещиваются, а значит, не параллельны.
2) Утверждение неверно.
В том же кубе прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(ADD_1\), прямая \(AD\) — в плоскости \(ABC\), причём \(A_1D_1 \parallel AD\) как противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\). Однако плоскости \(ADD_1\) и \(ABC\) имеют общие точки \(A\) и \(D\), значит, эти плоскости не параллельны.
3) Утверждение неверно.
Возьмём две пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), и пусть \(\alpha \cap \beta = c\). В плоскости \(\alpha\) проведём две различные прямые \(a_1\) и \(a_2\), параллельные прямой \(c\), а в плоскости \(\beta\) — две прямые \(b_1\) и \(b_2\), тоже параллельные прямой \(c\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(a_1 \parallel b_1\) и \(a_2 \parallel b_2\). Значит, две прямые плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны двум прямым плоскости \(\beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) при этом пересекаются.
В утверждении пропущено слово «пересекающиеся»: признак параллельности двух плоскостей требует, чтобы прямые \(a_1\) и \(a_2\) пересекались, а здесь они параллельны.
Ответ: все три утверждения неверны.
Верно ли утверждение: 1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости; 2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны; 3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?
1) Утверждение неверно.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Прямые \(AB\) и \(AD\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются в точке \(A\), прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) лежат в плоскости \(A_1B_1C_1\), причём \(AB \parallel A_1B_1\) как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\) и \(AD \parallel A_1D_1\) как противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны.
Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), прямая \(A_1D_1\) — в плоскости \(A_1B_1C_1\). Вместе с тем прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(ADD_1\), а прямая \(AB\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), поскольку точка \(B\) плоскости \(ADD_1\) не принадлежит. Точка \(A\) прямой \(A_1D_1\) не принадлежит, поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(A_1D_1\) скрещиваются, а значит, не параллельны.
2) Утверждение неверно.
В том же кубе прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(ADD_1\), прямая \(AD\) — в плоскости \(ABC\), причём \(A_1D_1 \parallel AD\) как противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\). Однако плоскости \(ADD_1\) и \(ABC\) имеют общие точки \(A\) и \(D\), а параллельными называют плоскости, не имеющие общих точек. Значит, эти плоскости не параллельны.
3) Утверждение неверно.
Возьмём две пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), и пусть \(\alpha \cap \beta = c\). В плоскости \(\alpha\) проведём две различные прямые \(a_1\) и \(a_2\), параллельные прямой \(c\), а в плоскости \(\beta\) — две прямые \(b_1\) и \(b_2\), тоже параллельные прямой \(c\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(a_1 \parallel b_1\) и \(a_2 \parallel b_2\). Значит, две прямые плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны двум прямым плоскости \(\beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) при этом пересекаются.
В утверждении пропущено слово «пересекающиеся»: признак параллельности двух плоскостей требует, чтобы прямые \(a_1\) и \(a_2\) пересекались, а здесь они параллельны.
Ответ: все три утверждения неверны.
