Страница 91 номер 8.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) и отрезок \(A_1B_1\) являются изображением окружности с центром \(O\) и её хорды \(AB\) (рис. 8.29). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде \(AB\).
Как видно на рисунке, точка \(O_1\) не принадлежит отрезку \(A_1B_1\). Если бы центр \(O\) принадлежал хорде \(AB\), то и его изображение принадлежало бы изображению этой хорды, поэтому хорда \(AB\) не является диаметром данной окружности.
Пусть \(CD\) — диаметр окружности, перпендикулярный хорде \(AB\), а \(Z\) — точка его пересечения с этой хордой. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому \(Z\) — середина хорды \(AB\). Поскольку хорда \(AB\) не является диаметром, точка \(Z\) отлична от центра \(O\), и через точки \(O\) и \(Z\) проходит единственная прямая. Значит, диаметр \(CD\) лежит на прямой \(OZ\), проходящей через центр \(O\) окружности и середину \(Z\) хорды \(AB\).
Изображением центра окружности является центр \(O_1\) эллипса, а изображением точки \(Z\) — середина \(Z_1\) отрезка \(A_1B_1\) (теорема 7.3). Значит, изображением прямой \(OZ\) является прямая \(O_1Z_1\) (теорема 7.1), а изображением диаметра \(CD\) — хорда \(C_1D_1\) эллипса, которая лежит на прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: искомое изображение — хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через его центр \(O_1\) и середину \(Z_1\) хорды \(A_1B_1\).
Эллипс с центром \(O_1\) и отрезок \(A_1B_1\) являются изображением окружности с центром \(O\) и её хорды \(AB\) (рис. 8.29). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде \(AB\).
Как видно на рисунке, точка \(O_1\) не принадлежит отрезку \(A_1B_1\). Если бы центр \(O\) принадлежал хорде \(AB\), то и его изображение принадлежало бы изображению этой хорды, поэтому хорда \(AB\) не является диаметром данной окружности.
Пусть \(CD\) — диаметр окружности, перпендикулярный хорде \(AB\), а \(Z\) — точка его пересечения с этой хордой. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому \(Z\) — середина хорды \(AB\). Поскольку хорда \(AB\) не является диаметром, точка \(Z\) отлична от центра \(O\), и через точки \(O\) и \(Z\) проходит единственная прямая. Значит, диаметр \(CD\) лежит на прямой \(OZ\), проходящей через центр \(O\) окружности и середину \(Z\) хорды \(AB\).
Изображение центра окружности называют центром эллипса, поэтому изображением точки \(O\) служит центр \(O_1\) данного эллипса. Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции (это следует из теоремы 7.3), поэтому изображением точки \(Z\) служит середина \(Z_1\) отрезка \(A_1B_1\).
Параллельной проекцией прямой является прямая (теорема 7.1), значит, изображением прямой \(OZ\) является прямая \(O_1Z_1\), а изображением диаметра \(CD\) — хорда \(C_1D_1\) эллипса, которая лежит на прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: искомое изображение — хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через его центр \(O_1\) и середину \(Z_1\) хорды \(A_1B_1\).
