Страница 91 номер 8.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.
Пусть \(AC\) и \(BD\) — два произвольных различных диаметра окружности с центром \(O\). В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали точкой \(O\) делятся пополам, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм. Его диагонали равны, так как \(AC\) и \(BD\) — диаметры одной окружности, а параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Значит, \(ABCD\) — прямоугольник, вписанный в данную окружность.
Точка \(O\) — середина каждого из диаметров \(AC\) и \(BD\), а изображением центра окружности является центр эллипса, поэтому изображениями диаметров \(AC\) и \(BD\) служат хорды \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) эллипса, проходящие через его центр \(O_1\) (теорема 7.3).
Значит, достаточно провести через центр \(O_1\) эллипса две произвольные различные хорды \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) и соединить их концы: четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) и есть искомое изображение. Хорды можно выбрать по-разному, поэтому таких изображений бесконечно много.
Ответ: искомое изображение — четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), вершинами которого служат концы двух произвольных различных хорд эллипса, проходящих через его центр \(O_1\).
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.
Пусть \(AC\) и \(BD\) — два произвольных различных диаметра окружности с центром \(O\). В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали точкой \(O\) делятся пополам, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм. Его диагонали равны, так как \(AC\) и \(BD\) — диаметры одной окружности, а параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Значит, \(ABCD\) — прямоугольник, вписанный в данную окружность.
Изображение центра окружности называют центром эллипса, поэтому изображением точки \(O\) служит центр \(O_1\) данного эллипса. Точка \(O\) — середина каждого из диаметров \(AC\) и \(BD\), а параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции (это следует из теоремы 7.3), поэтому изображениями диаметров \(AC\) и \(BD\) служат хорды \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) эллипса, проходящие через его центр \(O_1\).
Значит, достаточно провести через центр \(O_1\) эллипса две произвольные различные хорды \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) и соединить их концы: четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) и есть искомое изображение. Хорды можно выбрать по-разному, поэтому таких изображений бесконечно много.
Ответ: искомое изображение — четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), вершинами которого служат концы двух произвольных различных хорд эллипса, проходящих через его центр \(O_1\).
