Страница 91 номер 8.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.
Пусть \(AB\) — диаметр окружности с центром \(O\), а \(C\) — произвольная точка окружности, отличная от точек \(A\) и \(B\). Вписанный угол \(ACB\) опирается на диаметр, поэтому он прямой, и треугольник \(ABC\) — прямоугольный треугольник, вписанный в данную окружность.
Точка \(O\) — середина отрезка \(AB\), а изображением центра окружности является центр эллипса, поэтому изображение диаметра \(AB\) — это хорда \(A_1B_1\) эллипса, серединой которой служит центр \(O_1\) (теорема 7.3), то есть хорда, проходящая через точку \(O_1\).
Значит, достаточно провести через центр \(O_1\) эллипса произвольную хорду \(A_1B_1\) и отметить на эллипсе произвольную точку \(C_1\), отличную от точек \(A_1\) и \(B_1\): треугольник \(A_1B_1C_1\) и есть искомое изображение. Хорду \(A_1B_1\) и точку \(C_1\) можно выбрать по-разному, поэтому таких изображений бесконечно много.
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(A_1B_1\) — хорда эллипса, проходящая через его центр \(O_1\), а \(C_1\) — любая отличная от \(A_1\) и \(B_1\) точка эллипса.
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.
Пусть \(AB\) — диаметр окружности с центром \(O\), а \(C\) — произвольная точка окружности, отличная от точек \(A\) и \(B\). Вписанный угол \(ACB\) опирается на диаметр, поэтому он прямой, и треугольник \(ABC\) — прямоугольный треугольник, вписанный в данную окружность.
Изображение центра окружности называют центром эллипса, поэтому изображением точки \(O\) служит центр \(O_1\) данного эллипса. Точка \(O\) — середина отрезка \(AB\), а параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции (это следует из теоремы 7.3), поэтому изображение диаметра \(AB\) — это хорда \(A_1B_1\) эллипса, серединой которой служит точка \(O_1\), то есть хорда, проходящая через центр эллипса.
Значит, достаточно провести через центр \(O_1\) эллипса произвольную хорду \(A_1B_1\) и отметить на эллипсе произвольную точку \(C_1\), отличную от точек \(A_1\) и \(B_1\): треугольник \(A_1B_1C_1\) и есть искомое изображение. Хорду \(A_1B_1\) и точку \(C_1\) можно выбрать по-разному, поэтому таких изображений бесконечно много.
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(A_1B_1\) — хорда эллипса, проходящая через его центр \(O_1\), а \(C_1\) — любая отличная от \(A_1\) и \(B_1\) точка эллипса.
