Страница 91 номер 8.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением правильного треугольника \(ABC\) (рис. 8.26). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
Пусть \(K\) — середина стороны \(BC\), \(L\) — середина стороны \(AB\) правильного треугольника \(ABC\). Тогда \(AK\) и \(CL\) — медианы треугольника \(ABC\).
Каждая медиана правильного треугольника является и его биссектрисой, а центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, значит, центр \(O\) окружности, вписанной в правильный треугольник \(ABC\), совпадает с точкой пересечения его медиан.
Изображениями точек \(K\) и \(L\) служат середины \(K_1\) и \(L_1\) сторон \(B_1C_1\) и \(A_1B_1\), а изображениями медиан \(AK\) и \(CL\) — отрезки \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\) (теорема 7.3). Значит, изображением центра вписанной окружности является точка \(O_1\) пересечения медиан \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\).
Ответ: искомое изображение — точка \(O_1\) пересечения медиан \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где \(K_1\) — середина стороны \(B_1C_1\), а \(L_1\) — середина стороны \(A_1B_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением правильного треугольника \(ABC\) (рис. 8.26). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
Пусть \(K\) — середина стороны \(BC\), \(L\) — середина стороны \(AB\) правильного треугольника \(ABC\). Тогда \(AK\) и \(CL\) — медианы треугольника \(ABC\).
Каждая медиана правильного треугольника является и его биссектрисой, а центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, центр \(O\) окружности, вписанной в правильный треугольник \(ABC\), совпадает с точкой пересечения его медиан.
Медианы данного треугольника изображаются медианами треугольника, являющегося изображением данного, — это следует из теоремы 7.3. Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(K\) и \(L\) служат середины \(K_1\) и \(L_1\) сторон \(B_1C_1\) и \(A_1B_1\), а изображениями медиан \(AK\) и \(CL\) — отрезки \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\).
Значит, изображением центра вписанной окружности является точка \(O_1\) пересечения медиан \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\).
Ответ: искомое изображение — точка \(O_1\) пересечения медиан \(A_1K_1\) и \(C_1L_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где \(K_1\) — середина стороны \(B_1C_1\), а \(L_1\) — середина стороны \(A_1B_1\).
