Страница 90 номер 8.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением равнобедренного треугольника \(ABC\) (\(AB = BC\)), точка \(M_1\) — изображение некоторой точки \(M\) отрезка \(AB\) (рис. 8.25). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки \(M\) на основание \(AC\).
Пусть \(BH\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\), а \(MK\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на основание \(AC\).
Поскольку \(AB = BC\), высота \(BH\) является и медианой треугольника \(ABC\), значит, \(H\) — середина основания \(AC\). Прямые \(MK\) и \(BH\) лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой \(AC\), поэтому \(MK \parallel BH\).
Изображением высоты \(BH\) является отрезок \(B_1H_1\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\) (теорема 7.3), а изображением перпендикуляра \(MK\) — отрезок \(M_1K_1\), параллельный отрезку \(B_1H_1\) (теорема 7.2). Значит, точку \(K_1\) получаем, проведя через точку \(M_1\) прямую, параллельную прямой \(B_1H_1\), до пересечения со стороной \(A_1C_1\).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(M_1K_1\), где \(K_1\) — точка стороны \(A_1C_1\), для которой \(M_1K_1 \parallel B_1H_1\), а \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением равнобедренного треугольника \(ABC\) (\(AB = BC\)), точка \(M_1\) — изображение некоторой точки \(M\) отрезка \(AB\) (рис. 8.25). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки \(M\) на основание \(AC\).
Пусть \(BH\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\), а \(MK\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на основание \(AC\).
Поскольку \(AB = BC\), высота \(BH\) является и медианой треугольника \(ABC\), значит, \(H\) — середина основания \(AC\). Прямые \(MK\) и \(BH\) лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой \(AC\), поэтому \(MK \parallel BH\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Тогда изображением высоты \(BH\) является отрезок \(B_1H_1\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Поскольку \(MK \parallel BH\), то параллельной проекцией перпендикуляра \(MK\) является отрезок \(M_1K_1\), параллельный отрезку \(B_1H_1\) (теорема 7.2). Значит, точку \(K_1\) получаем, проведя через точку \(M_1\) прямую, параллельную прямой \(B_1H_1\), до пересечения со стороной \(A_1C_1\).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(M_1K_1\), где \(K_1\) — точка стороны \(A_1C_1\), для которой \(M_1K_1 \parallel B_1H_1\), а \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
