Страница 90 номер 8.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением прямоугольного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\) (рис. 8.24). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет \(AC\).
Пусть \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), а \(MN\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на катет \(AC\).
Угол \(C\) треугольника \(ABC\) прямой, поэтому \(BC \perp AC\). Прямые \(MN\) и \(BC\) лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой \(AC\), значит, \(MN \parallel BC\), то есть прямая \(MN\) проходит через середину \(M\) стороны \(AB\) параллельно стороне \(BC\). Поэтому \(N\) — середина катета \(AC\).
Изображением отрезка \(MN\) является отрезок \(M_1N_1\), где точки \(M_1\) и \(N_1\) — середины соответственно сторон \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\) (теорема 7.3).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(M_1N_1\), где \(M_1\) — середина стороны \(A_1B_1\), а \(N_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) является изображением прямоугольного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\) (рис. 8.24). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет \(AC\).
Пусть \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), а \(MN\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на катет \(AC\).
Угол \(C\) треугольника \(ABC\) прямой, поэтому \(BC \perp AC\). Прямые \(MN\) и \(BC\) лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой \(AC\), значит, \(MN \parallel BC\). В треугольнике \(ABC\) прямая, проходящая через середину \(M\) стороны \(AB\) параллельно стороне \(BC\), пересекает сторону \(AC\) в её середине, поэтому \(N\) — середина катета \(AC\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Тогда изображением отрезка \(MN\) является отрезок \(M_1N_1\), где точки \(M_1\) и \(N_1\) — середины соответственно сторон \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\).
Ответ: искомое изображение — отрезок \(M_1N_1\), где \(M_1\) — середина стороны \(A_1B_1\), а \(N_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
