Страница 92 номер 8.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Постройте изображение квадрата \(DEFM\), если \(D \in AB\), \(M \in AB\), \(E \in AC\), \(F \in BC\).
Точки \(D\) и \(M\) лежат на гипотенузе \(AB\), точка \(E\) — на катете \(AC\), точка \(F\) — на катете \(BC\).
Треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой \(AB\), поэтому \(\angle A = \angle B = 45^\circ\).
Сторона \(DE\) квадрата перпендикулярна его стороне \(DM\), лежащей на прямой \(AB\), поэтому треугольник \(ADE\) прямоугольный, а его острый угол при вершине \(A\) равен \(45^\circ\). Значит, этот треугольник равнобедренный и \(AD = DE\). Аналогично \(BM = MF\).
Все стороны квадрата равны, поэтому \(DE = MF = DM\), а значит, \(AD = DM = MB\): точки \(D\) и \(M\) делят гипотенузу \(AB\) на три равные части.
Противолежащие стороны \(EF\) и \(DM\) квадрата параллельны, поэтому \(EF \parallel AB\), и треугольник \(CEF\) подобен треугольнику \(CAB\) с коэффициентом \(EF : AB = DM : AB = 1 : 3\). Значит, \(CE : CA = CF : CB = 1 : 3\), то есть \(AE : EC = 2 : 1\) и \(BF : FC = 2 : 1\).
По теореме 7.3 изображениями точек \(D\) и \(M\) служат точки \(D_1\) и \(M_1\), делящие отрезок \(A_1B_1\) на три равные части, изображением точки \(E\) — такая точка \(E_1\) стороны \(A_1C_1\), что \(A_1E_1 : E_1C_1 = 2 : 1\), а изображением точки \(F\) — такая точка \(F_1\) стороны \(B_1C_1\), что \(B_1F_1 : F_1C_1 = 2 : 1\).
Изображением квадрата является параллелограмм, поэтому изображение данного квадрата — параллелограмм \(D_1E_1F_1M_1\).
Ответ: искомое изображение квадрата — параллелограмм \(D_1E_1F_1M_1\), где точки \(D_1\) и \(M_1\) делят отрезок \(A_1B_1\) на три равные части, \(A_1E_1 : E_1C_1 = 2 : 1\) и \(B_1F_1 : F_1C_1 = 2 : 1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Постройте изображение квадрата \(DEFM\), если \(D \in AB\), \(M \in AB\), \(E \in AC\), \(F \in BC\).
Точки \(D\) и \(M\) лежат на гипотенузе \(AB\), точка \(E\) — на катете \(AC\), точка \(F\) — на катете \(BC\).
Треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой \(AB\), поэтому \(\angle A = \angle B = 45^\circ\).
Сторона \(DE\) квадрата перпендикулярна его стороне \(DM\), лежащей на прямой \(AB\), поэтому треугольник \(ADE\) прямоугольный, а его острый угол при вершине \(A\) равен \(45^\circ\). Значит, этот треугольник равнобедренный и \(AD = DE\). Аналогично \(BM = MF\).
Все стороны квадрата равны, поэтому \(DE = MF = DM\), а значит, \(AD = DM = MB\): точки \(D\) и \(M\) делят гипотенузу \(AB\) на три равные части.
Противолежащие стороны \(EF\) и \(DM\) квадрата параллельны, поэтому \(EF \parallel AB\), и треугольник \(CEF\) подобен треугольнику \(CAB\). Коэффициент подобия равен \(EF : AB = DM : AB = 1 : 3\), поэтому \(CE : CA = CF : CB = 1 : 3\), то есть \(AE : EC = 2 : 1\) и \(BF : FC = 2 : 1\).
По теореме 7.3 отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков. Поэтому изображениями точек \(D\) и \(M\) служат точки \(D_1\) и \(M_1\), делящие отрезок \(A_1B_1\) на три равные части, изображением точки \(E\) — такая точка \(E_1\) стороны \(A_1C_1\), что \(A_1E_1 : E_1C_1 = 2 : 1\), а изображением точки \(F\) — такая точка \(F_1\) стороны \(B_1C_1\), что \(B_1F_1 : F_1C_1 = 2 : 1\).
Изображением квадрата является параллелограмм, поэтому изображение данного квадрата — параллелограмм \(D_1E_1F_1M_1\).
Ответ: искомое изображение квадрата — параллелограмм \(D_1E_1F_1M_1\), где точки \(D_1\) и \(M_1\) делят отрезок \(A_1B_1\) на три равные части, \(A_1E_1 : E_1C_1 = 2 : 1\) и \(B_1F_1 : F_1C_1 = 2 : 1\).
