Страница 92 номер 8.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение ромба \(ABCD\), в котором \(\angle A = 60^\circ\). Постройте изображение высоты ромба, проведённой из вершины \(A\) к стороне \(BC\) ромба.
Пусть \(AQ\) — высота ромба, проведённая из вершины \(A\) к стороне \(BC\), то есть точка \(Q\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на прямую \(BC\).
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Точка \(Q\) не может лежать на луче \(BC\): тогда в треугольнике \(ABQ\) было бы \(\angle ABQ = 120^\circ\) и \(\angle AQB = 90^\circ\), а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Значит, точка \(Q\) лежит на продолжении стороны \(CB\) за точку \(B\).
Угол \(ABQ\) смежный с углом \(ABC\), поэтому \(\angle ABQ = 60^\circ\), а тогда в прямоугольном треугольнике \(ABQ\) получаем \(\angle BAQ = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, поэтому \(BQ = \frac{1}{2} AB\). Все стороны ромба равны, значит, \(BQ = \frac{1}{2} BC\).
Точки \(Q\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём точка \(B\) лежит между точками \(Q\) и \(C\). Параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1), поэтому изображение \(Q_1\) точки \(Q\) лежит на продолжении стороны \(C_1B_1\) за точку \(B_1\), а по теореме 7.3 \(B_1Q_1 = \frac{1}{2} B_1C_1\).
Значит, изображением высоты \(AQ\) служит отрезок \(A_1Q_1\).
Ответ: искомое изображение высоты — отрезок \(A_1Q_1\), где \(Q_1\) — такая точка продолжения стороны \(C_1B_1\) за точку \(B_1\), что \(B_1Q_1 = \frac{1}{2} B_1C_1\).
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение ромба \(ABCD\), в котором \(\angle A = 60^\circ\). Постройте изображение высоты ромба, проведённой из вершины \(A\) к стороне \(BC\) ромба.
Пусть \(AQ\) — высота ромба, проведённая из вершины \(A\) к стороне \(BC\), то есть точка \(Q\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на прямую \(BC\).
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Точка \(Q\) не может лежать на луче \(BC\): тогда в треугольнике \(ABQ\) было бы \(\angle ABQ = 120^\circ\) и \(\angle AQB = 90^\circ\), а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Значит, точка \(Q\) лежит на продолжении стороны \(CB\) за точку \(B\).
Угол \(ABQ\) смежный с углом \(ABC\), поэтому \(\angle ABQ = 60^\circ\), а тогда в прямоугольном треугольнике \(ABQ\) получаем \(\angle BAQ = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, поэтому \(BQ = \frac{1}{2} AB\). Все стороны ромба равны, значит, \(BQ = \frac{1}{2} BC\).
Точки \(Q\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём точка \(B\) лежит между точками \(Q\) и \(C\). Параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1), поэтому изображение \(Q_1\) точки \(Q\) лежит на продолжении стороны \(C_1B_1\) за точку \(B_1\). По теореме 7.3 отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков, поэтому \(B_1Q_1 = \frac{1}{2} B_1C_1\).
Значит, изображением высоты \(AQ\) служит отрезок \(A_1Q_1\).
Ответ: искомое изображение высоты — отрезок \(A_1Q_1\), где \(Q_1\) — такая точка продолжения стороны \(C_1B_1\) за точку \(B_1\), что \(B_1Q_1 = \frac{1}{2} B_1C_1\).
