Страница 92 номер 8.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение ромба \(ABCD\). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону \(AD\), если \(\angle A = 60^\circ\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\), а \(P\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на сторону \(AD\).
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(BD\).
В треугольнике \(ABD\) стороны \(AB\) и \(AD\) равны как стороны ромба, а угол между ними равен \(60^\circ\), поэтому треугольник \(ABD\) равносторонний. Значит, \(BD = AD\) и \(\angle ADB = 60^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(OPD\) угол \(ODP\) равен \(60^\circ\), поэтому \(\angle POD = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, поэтому \(DP = \frac{1}{2} OD\).
Поскольку \(OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AD\), получаем \(DP = \frac{1}{4} AD\) и \(AP = \frac{3}{4} AD\), то есть \(AP : PD = 3 : 1\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(O\) служит середина \(O_1\) диагонали \(B_1D_1\), то есть точка пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\).
Точки \(A\), \(P\) и \(D\) лежат на одной прямой, поэтому по теореме 7.3 изображением точки \(P\) является такая точка \(P_1\) стороны \(A_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1D_1 = 3 : 1\), а изображением перпендикуляра \(OP\) — отрезок \(O_1P_1\).
Ответ: искомое изображение перпендикуляра — отрезок \(O_1P_1\), где \(O_1\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а \(P_1\) — такая точка стороны \(A_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1D_1 = 3 : 1\).
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) — изображение ромба \(ABCD\). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону \(AD\), если \(\angle A = 60^\circ\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба \(ABCD\), а \(P\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на сторону \(AD\).
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(BD\).
В треугольнике \(ABD\) стороны \(AB\) и \(AD\) равны как стороны ромба, а угол между ними равен \(60^\circ\), поэтому треугольник \(ABD\) равносторонний. Значит, \(BD = AD\) и \(\angle ADB = 60^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(OPD\) угол \(ODP\) равен \(60^\circ\), поэтому \(\angle POD = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, поэтому \(DP = \frac{1}{2} OD\).
Поскольку \(OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AD\), получаем \(DP = \frac{1}{4} AD\) и \(AP = \frac{3}{4} AD\), то есть \(AP : PD = 3 : 1\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(O\) служит середина \(O_1\) диагонали \(B_1D_1\) параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), то есть точка пересечения его диагоналей.
Точки \(A\), \(P\) и \(D\) лежат на одной прямой, а по теореме 7.3 отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков. Значит, изображением точки \(P\) является такая точка \(P_1\) стороны \(A_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1D_1 = 3 : 1\), а изображением перпендикуляра \(OP\) — отрезок \(O_1P_1\).
Ответ: искомое изображение перпендикуляра — отрезок \(O_1P_1\), где \(O_1\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(A_1B_1C_1D_1\), а \(P_1\) — такая точка стороны \(A_1D_1\), что \(A_1P_1 : P_1D_1 = 3 : 1\).
