Страница 92 номер 8.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) (рис. 8.31) — изображение треугольника \(ABC\), точка \(O_1\) — изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Постройте изображения высот треугольника \(ABC\).
Пусть \(AD\), \(BE\) и \(CF\) — высоты треугольника \(ABC\), а \(M\), \(N\) и \(K\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\). Точка \(O\) не совпадает ни с одной из точек \(M\), \(N\), \(K\): иначе она лежала бы на стороне треугольника, а тогда и её изображение \(O_1\) лежало бы на стороне треугольника \(A_1B_1C_1\), тогда как на рисунке точка \(O_1\) лежит строго внутри него. Поэтому каждый из отрезков \(OM\), \(ON\) и \(OK\) задаёт направление.
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от точек \(B\) и \(C\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(BC\), а значит, \(OM \perp BC\). Высота \(AD\) также перпендикулярна прямой \(BC\). Прямые \(AD\) и \(OM\) различны: точка \(A\) прямой \(OM\) не принадлежит, так как её изображение \(A_1\) не лежит на прямой \(O_1M_1\), где \(M_1\) — середина отрезка \(B_1C_1\). Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому \(AD \parallel OM\). Точки \(B_1\) и \(C_1\) не лежат на прямых \(O_1N_1\) и \(O_1K_1\), где \(N_1\) и \(K_1\) — середины отрезков \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\), поэтому так же \(BE \parallel ON\) и \(CF \parallel OK\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\), \(N\) и \(K\) служат середины \(M_1\), \(N_1\) и \(K_1\) отрезков \(B_1C_1\), \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые, а параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1). Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением высоты \(AD\) служит отрезок \(A_1D_1\), где \(D_1\) — точка пересечения стороны \(B_1C_1\) и прямой, проходящей через точку \(A_1\) параллельно отрезку \(O_1M_1\). Так же строятся изображения двух других высот — отрезки \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), параллельные отрезкам \(O_1N_1\) и \(O_1K_1\).
Ответ: искомые изображения высот — отрезки \(A_1D_1\), \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), для которых \(A_1D_1 \parallel O_1M_1\), \(B_1E_1 \parallel O_1N_1\) и \(C_1F_1 \parallel O_1K_1\), где \(M_1\), \(N_1\) и \(K_1\) — середины сторон \(B_1C_1\), \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\) соответственно.
Треугольник \(A_1B_1C_1\) (рис. 8.31) — изображение треугольника \(ABC\), точка \(O_1\) — изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Постройте изображения высот треугольника \(ABC\).
Пусть \(AD\), \(BE\) и \(CF\) — высоты треугольника \(ABC\), а \(M\), \(N\) и \(K\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно.
Точка \(O\) не совпадает ни с одной из точек \(M\), \(N\), \(K\): иначе она лежала бы на стороне треугольника, а тогда и её изображение \(O_1\) лежало бы на стороне треугольника \(A_1B_1C_1\), тогда как на рисунке точка \(O_1\) лежит строго внутри него. Поэтому каждый из отрезков \(OM\), \(ON\) и \(OK\) задаёт направление.
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от точек \(B\) и \(C\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(BC\), а значит, \(OM \perp BC\). Высота \(AD\) также перпендикулярна прямой \(BC\). Прямые \(AD\) и \(OM\) различны: точка \(A\) прямой \(OM\) не принадлежит, так как её изображение \(A_1\) не лежит на прямой \(O_1M_1\), где \(M_1\) — середина отрезка \(B_1C_1\). Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому \(AD \parallel OM\).
Точки \(B_1\) и \(C_1\) не лежат на прямых \(O_1N_1\) и \(O_1K_1\), где \(N_1\) и \(K_1\) — середины отрезков \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\), поэтому так же \(BE \parallel ON\) и \(CF \parallel OK\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\), \(N\) и \(K\) служат середины \(M_1\), \(N_1\) и \(K_1\) отрезков \(B_1C_1\), \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые, а параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1). Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением высоты \(AD\) служит отрезок \(A_1D_1\), где \(D_1\) — точка пересечения стороны \(B_1C_1\) и прямой, проходящей через точку \(A_1\) параллельно отрезку \(O_1M_1\).
Так же строятся изображения двух других высот: отрезок \(B_1E_1\), параллельный отрезку \(O_1N_1\), где точка \(E_1\) лежит на стороне \(A_1C_1\), и отрезок \(C_1F_1\), параллельный отрезку \(O_1K_1\), где точка \(F_1\) лежит на стороне \(A_1B_1\).
Ответ: искомые изображения высот — отрезки \(A_1D_1\), \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), для которых \(A_1D_1 \parallel O_1M_1\), \(B_1E_1 \parallel O_1N_1\) и \(C_1F_1 \parallel O_1K_1\), где \(M_1\), \(N_1\) и \(K_1\) — середины сторон \(B_1C_1\), \(A_1C_1\) и \(A_1B_1\) соответственно.
