Страница 92 номер 8.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение треугольника \(ABC\) (рис. 8.30), отрезки \(A_1D_1\) и \(C_1E_1\) — изображения соответственно высот \(AD\) и \(CE\) треугольника \(ABC\). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\), а \(N\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\). На рисунке точка \(D_1\) не совпадает с серединой отрезка \(B_1C_1\), а точка \(E_1\) — с серединой отрезка \(A_1B_1\), поэтому и точка \(D\) отлична от точки \(M\), а точка \(E\) — от точки \(N\).
Серединный перпендикуляр к стороне \(BC\) проходит через точку \(M\) и перпендикулярен прямой \(BC\). Высота \(AD\) также перпендикулярна прямой \(BC\), но пересекает её в отличной от \(M\) точке \(D\), поэтому с этим серединным перпендикуляром не совпадает. Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Значит, этот серединный перпендикуляр параллелен прямой \(AD\). Аналогично серединный перпендикуляр к стороне \(AB\) проходит через точку \(N\), не совпадает с прямой \(CE\) и параллелен ей.
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от вершин треугольника, поэтому он является точкой пересечения этих серединных перпендикуляров.
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) отрезков \(B_1C_1\) и \(A_1B_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением серединного перпендикуляра к стороне \(BC\) является прямая, проходящая через точку \(M_1\) параллельно отрезку \(A_1D_1\), а изображением серединного перпендикуляра к стороне \(AB\) — прямая, проходящая через точку \(N_1\) параллельно отрезку \(C_1E_1\). Точка \(O\) принадлежит каждому из серединных перпендикуляров, поэтому её изображение \(O_1\) является точкой пересечения построенных прямых.
Ответ: искомое изображение центра описанной окружности — точка \(O_1\) пересечения прямой, проходящей через середину \(M_1\) отрезка \(B_1C_1\) параллельно отрезку \(A_1D_1\), и прямой, проходящей через середину \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\) параллельно отрезку \(C_1E_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение треугольника \(ABC\) (рис. 8.30), отрезки \(A_1D_1\) и \(C_1E_1\) — изображения соответственно высот \(AD\) и \(CE\) треугольника \(ABC\). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\), а \(N\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\). На рисунке точка \(D_1\) не совпадает с серединой отрезка \(B_1C_1\), а точка \(E_1\) — с серединой отрезка \(A_1B_1\), поэтому и точка \(D\) отлична от точки \(M\), а точка \(E\) — от точки \(N\).
Серединный перпендикуляр к стороне \(BC\) проходит через точку \(M\) и перпендикулярен прямой \(BC\). Высота \(AD\) также перпендикулярна прямой \(BC\), но пересекает её в отличной от \(M\) точке \(D\), поэтому с этим серединным перпендикуляром не совпадает. Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Значит, серединный перпендикуляр к стороне \(BC\) параллелен прямой \(AD\).
Аналогично серединный перпендикуляр к стороне \(AB\) проходит через точку \(N\), не совпадает с прямой \(CE\) и параллелен ей.
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от вершин треугольника, поэтому он является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(BC\) и \(AB\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) отрезков \(B_1C_1\) и \(A_1B_1\) соответственно.
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением серединного перпендикуляра к стороне \(BC\) является прямая, проходящая через точку \(M_1\) параллельно отрезку \(A_1D_1\), а изображением серединного перпендикуляра к стороне \(AB\) — прямая, проходящая через точку \(N_1\) параллельно отрезку \(C_1E_1\).
Точка \(O\) принадлежит каждому из этих серединных перпендикуляров, поэтому её изображение \(O_1\) принадлежит каждой из построенных прямых, то есть является точкой их пересечения.
Ответ: искомое изображение центра описанной окружности — точка \(O_1\) пересечения прямой, проходящей через середину \(M_1\) отрезка \(B_1C_1\) параллельно отрезку \(A_1D_1\), и прямой, проходящей через середину \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\) параллельно отрезку \(C_1E_1\).
