Страница 92 номер 8.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если высота \(AM\) этого треугольника делит сторону \(BC\) на отрезки \(BM\) и \(MC\) так, что \(BM = 5MC\).
Пусть \(H\) — середина основания \(AC\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой, поэтому \(BH \perp AC\).
Прямоугольные треугольники \(AMC\) и \(BHC\) имеют общий острый угол при вершине \(C\), поэтому они подобны. Значит, \(MC : HC = AC : BC\), откуда \(MC \cdot BC = HC \cdot AC\).
Пусть \(MC = 1\). Тогда \(BM = 5\) и \(BC = BM + MC = 6\), а так как треугольник равнобедренный, то и \(AB = 6\). Из равенства \(MC \cdot BC = HC \cdot AC\) получаем \(1 \cdot 6 = \frac{AC}{2} \cdot AC\), откуда \(AC^2 = 12\), \(AC = 2\sqrt{3}\) и \(AH = \sqrt{3}\).
Из прямоугольного треугольника \(ABH\) находим \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 3} = \sqrt{33}\).
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от концов стороны \(AC\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к этой стороне, то есть на прямой \(BH\). Пусть \(BD\) — диаметр описанной окружности; точка \(D\) также лежит на прямой \(BH\), а угол \(BAD\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle BAD = 90^\circ\).
Отрезок \(AH\) — высота прямоугольного треугольника \(BAD\), проведённая к гипотенузе \(BD\). Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, поэтому \(AB^2 = BH \cdot BD\), откуда \(BD = \frac{36}{\sqrt{33}}\) и \(BO = \frac{1}{2} BD = \frac{18}{\sqrt{33}}\).
Точка \(H\) — середина хорды \(AC\), поэтому она лежит внутри окружности, и точка \(D\) лежит на луче \(BH\) за точкой \(H\). Значит, середина \(O\) отрезка \(BD\) лежит на луче \(BH\), а из неравенства \(BO = \frac{18}{\sqrt{33}} < \frac{33}{\sqrt{33}} = BH\) следует, что точка \(O\) лежит между точками \(B\) и \(H\), причём \(OH = BH - BO = \frac{15}{\sqrt{33}}\) и \(BO : OH = 18 : 15 = 6 : 5\).
Медиана изображается медианой, поэтому изображением медианы \(BH\) служит медиана \(B_1H_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где точка \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Точки \(B\), \(O\) и \(H\) лежат на одной прямой, поэтому по теореме 7.3 изображением центра \(O\) является такая точка \(O_1\) отрезка \(B_1H_1\), что \(B_1O_1 : O_1H_1 = 6 : 5\).
Ответ: искомое изображение центра описанной окружности — точка \(O_1\) отрезка \(B_1H_1\), для которой \(B_1O_1 : O_1H_1 = 6 : 5\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если высота \(AM\) этого треугольника делит сторону \(BC\) на отрезки \(BM\) и \(MC\) так, что \(BM = 5MC\).
Пусть \(H\) — середина основания \(AC\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой, поэтому \(BH \perp AC\).
Прямоугольные треугольники \(AMC\) и \(BHC\) имеют общий острый угол при вершине \(C\), поэтому они подобны. Значит, \(MC : HC = AC : BC\), откуда \(MC \cdot BC = HC \cdot AC\).
Пусть \(MC = 1\). Тогда \(BM = 5\) и \(BC = BM + MC = 6\), а так как треугольник равнобедренный, то и \(AB = 6\). Из равенства \(MC \cdot BC = HC \cdot AC\) получаем \(1 \cdot 6 = \frac{AC}{2} \cdot AC\), откуда \(AC^2 = 12\), \(AC = 2\sqrt{3}\) и \(AH = \sqrt{3}\).
Из прямоугольного треугольника \(ABH\) находим \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 3} = \sqrt{33}\).
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от концов стороны \(AC\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к этой стороне, то есть на прямой \(BH\). Пусть \(BD\) — диаметр описанной окружности; точка \(D\) также лежит на прямой \(BH\). Угол \(BAD\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle BAD = 90^\circ\).
Отрезок \(AH\) — высота прямоугольного треугольника \(BAD\), проведённая к гипотенузе \(BD\). Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, поэтому \(AB^2 = BH \cdot BD\), откуда \(BD = \frac{36}{\sqrt{33}}\) и \(BO = \frac{1}{2} BD = \frac{18}{\sqrt{33}}\).
Точка \(H\) — середина хорды \(AC\), поэтому она лежит внутри окружности, и точка \(D\) лежит на луче \(BH\) за точкой \(H\). Значит, середина \(O\) отрезка \(BD\) лежит на луче \(BH\), а из неравенства \(BO = \frac{18}{\sqrt{33}} < \frac{33}{\sqrt{33}} = BH\) следует, что точка \(O\) лежит между точками \(B\) и \(H\), причём \(OH = BH - BO = \frac{15}{\sqrt{33}}\).
Следовательно, \(BO : OH = 18 : 15 = 6 : 5\).
Медианы данного треугольника изображаются медианами треугольника, являющегося изображением данного, поэтому изображением медианы \(BH\) служит медиана \(B_1H_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где точка \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Точки \(B\), \(O\) и \(H\) лежат на одной прямой, а по теореме 7.3 отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков. Значит, изображением центра \(O\) является такая точка \(O_1\) отрезка \(B_1H_1\), что \(B_1O_1 : O_1H_1 = 6 : 5\).
Ответ: искомое изображение центра описанной окружности — точка \(O_1\) отрезка \(B_1H_1\), для которой \(B_1O_1 : O_1H_1 = 6 : 5\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
