Страница 91 номер 8.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), если \(AB : AC = 5 : 4\).
Пусть \(BH\) — медиана треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\), а \(I\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, поэтому \(BH\) — биссектриса угла \(ABC\). Центр вписанной окружности лежит на каждой биссектрисе треугольника, значит, точка \(I\) принадлежит отрезку \(BH\).
Точка \(H\) лежит на стороне \(AC\), поэтому отрезок \(AI\) — биссектриса треугольника \(ABH\), проведённая из вершины \(A\), и по свойству биссектрисы \(BI : IH = AB : AH\).
Поскольку \(AH = \frac{1}{2} AC\) и \(AB : AC = 5 : 4\), получаем \(AB : AH = 5 : 2\), то есть \(BI : IH = 5 : 2\).
Медиана изображается медианой, поэтому изображением медианы \(BH\) служит медиана \(B_1H_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где точка \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Точки \(B\), \(I\) и \(H\) лежат на одной прямой, поэтому по теореме 7.3 изображением центра \(I\) является такая точка \(I_1\) отрезка \(B_1H_1\), что \(B_1I_1 : I_1H_1 = 5 : 2\).
Ответ: искомое изображение центра вписанной окружности — точка \(I_1\) отрезка \(B_1H_1\), для которой \(B_1I_1 : I_1H_1 = 5 : 2\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), если \(AB : AC = 5 : 4\).
Пусть \(BH\) — медиана треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\), а \(I\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, поэтому \(BH\) — биссектриса угла \(ABC\). Центр вписанной окружности лежит на каждой биссектрисе треугольника, значит, точка \(I\) принадлежит отрезку \(BH\).
Точка \(H\) лежит на стороне \(AC\), поэтому отрезок \(AI\) — биссектриса треугольника \(ABH\), проведённая из вершины \(A\). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому \(BI : IH = AB : AH\).
Поскольку \(AH = \frac{1}{2} AC\) и \(AB : AC = 5 : 4\), получаем \(AB : AH = 5 : 2\), то есть \(BI : IH = 5 : 2\).
Медианы данного треугольника изображаются медианами треугольника, являющегося изображением данного, поэтому изображением медианы \(BH\) служит медиана \(B_1H_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), где точка \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
Точки \(B\), \(I\) и \(H\) лежат на одной прямой, а по теореме 7.3 отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков. Значит, изображением центра \(I\) является такая точка \(I_1\) отрезка \(B_1H_1\), что \(B_1I_1 : I_1H_1 = 5 : 2\).
Ответ: искомое изображение центра вписанной окружности — точка \(I_1\) отрезка \(B_1H_1\), для которой \(B_1I_1 : I_1H_1 = 5 : 2\), где \(H_1\) — середина стороны \(A_1C_1\).
