Страница 80 номер 7.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, а четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) — его параллельная проекция.

Стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны и равны. Их проекции лежат на одной прямой или на параллельных прямых; на одной прямой они лежать не могут, иначе все четыре точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) оказались бы на одной прямой и четырёхугольника не получилось бы. Значит, \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\). Отрезки \(AB\) и \(DC\) лежат на параллельных прямых, поэтому отношение длин их проекций равно отношению длин самих отрезков: \(\frac{A_1B_1}{D_1C_1} = \frac{AB}{DC} = 1\), откуда \(A_1B_1 = D_1C_1\).

Так же получаем \(B_1C_1 \parallel A_1D_1\) и \(B_1C_1 = A_1D_1\).

Значит, параллельной проекцией параллелограмма может быть только параллелограмм, и у этой проекции противоположные стороны равны.

1) Стороны \(6\) см, \(8\) см, \(6\) см, \(9\) см перечислены в порядке обхода четырёхугольника, поэтому противоположными являются стороны \(8\) см и \(9\) см. Они не равны, значит, такой четырёхугольник не является параллелограммом и параллельной проекцией параллелограмма быть не может.

2) Все четыре стороны равны \(12\) см, поэтому такой четырёхугольник — ромб, а ромб является параллелограммом. Возьмём ромб со стороной \(12\) см, лежащий в самой плоскости \(\alpha\): каждая его точка принадлежит плоскости \(\alpha\) и служит собственным образом, поэтому этот ромб является параллельной проекцией самого себя.

Ответ: 1) нет, не может; 2) да, может.