Страница 80 номер 7.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), углы \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) которого соответственно равны: 1) \(10^\circ\), \(40^\circ\), \(140^\circ\), \(170^\circ\); 2) \(50^\circ\), \(130^\circ\), \(50^\circ\), \(130^\circ\)?
Пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\), а четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) — её параллельная проекция.
Основания трапеции параллельны, поэтому их проекции лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На одной прямой они лежать не могут: тогда все четыре точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) оказались бы на одной прямой и четырёхугольника не получилось бы. Значит, \(B_1C_1 \parallel A_1D_1\).
Боковые стороны трапеции не параллельны и лежат в одной плоскости, поэтому прямые \(AB\) и \(DC\) пересекаются в некоторой точке. Образ этой точки принадлежит проекции каждой из данных прямых, поэтому отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\) лежат на прямых, имеющих общую точку, и потому не параллельны.
Значит, параллельной проекцией трапеции может быть только трапеция: у полученного четырёхугольника параллельна ровно одна пара противоположных сторон.
1) Углы \(A_1\) и \(D_1\), прилежащие к стороне \(A_1D_1\), дают \(10^\circ + 170^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\). Углы \(A_1\) и \(B_1\), прилежащие к стороне \(A_1B_1\), дают \(10^\circ + 40^\circ = 50^\circ\), что не равно \(180^\circ\), поэтому прямые \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) не параллельны. Значит, \(A_1B_1C_1D_1\) — трапеция с основаниями \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\). Взятая в самой плоскости \(\alpha\), такая трапеция служит параллельной проекцией самой себя: каждая её точка принадлежит плоскости \(\alpha\) и является собственным образом.
2) Углы \(A_1\) и \(B_1\), прилежащие к стороне \(A_1B_1\), дают \(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1D_1 \parallel B_1C_1\). Углы \(B_1\) и \(C_1\), прилежащие к стороне \(B_1C_1\), дают \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм. Но у параллельной проекции трапеции образы боковых сторон не параллельны, значит, такой четырёхугольник параллельной проекцией трапеции быть не может.
Ответ: 1) да, может; 2) нет, не может.
Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\), углы \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) которого соответственно равны: 1) \(10^\circ\), \(40^\circ\), \(140^\circ\), \(170^\circ\); 2) \(50^\circ\), \(130^\circ\), \(50^\circ\), \(130^\circ\)?
Пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\), а четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) — её параллельная проекция.
Основания трапеции параллельны, поэтому их проекции лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На одной прямой они лежать не могут: тогда все четыре точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) оказались бы на одной прямой и четырёхугольника не получилось бы. Значит, \(B_1C_1 \parallel A_1D_1\).
Боковые стороны трапеции не параллельны и лежат в одной плоскости, поэтому прямые \(AB\) и \(DC\) пересекаются в некоторой точке. Образ этой точки принадлежит проекции каждой из данных прямых, поэтому отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\) лежат на прямых, имеющих общую точку, и потому не параллельны.
Значит, параллельной проекцией трапеции может быть только трапеция: у полученного четырёхугольника параллельна ровно одна пара противоположных сторон.
1) Углы \(A_1\) и \(D_1\) прилежат к стороне \(A_1D_1\), и \(10^\circ + 170^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\). Углы \(A_1\) и \(B_1\) прилежат к стороне \(A_1B_1\), и \(10^\circ + 40^\circ = 50^\circ\), что не равно \(180^\circ\), поэтому прямые \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) не параллельны.
Четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) — трапеция с основаниями \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\). Такая трапеция может быть параллельной проекцией трапеции: возьмём её лежащей в самой плоскости \(\alpha\), тогда каждая её точка принадлежит плоскости \(\alpha\) и является собственным образом, то есть эта трапеция служит параллельной проекцией самой себя.
2) Углы \(A_1\) и \(B_1\) прилежат к стороне \(A_1B_1\), и \(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1D_1 \parallel B_1C_1\). Углы \(B_1\) и \(C_1\) прилежат к стороне \(B_1C_1\), и \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\), поэтому \(A_1B_1 \parallel D_1C_1\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм.
Но у параллельной проекции трапеции образы боковых сторон не параллельны, а у параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон. Значит, такой четырёхугольник параллельной проекцией трапеции быть не может.
Ответ: 1) да, может; 2) нет, не может.
