Страница 80 номер 7.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника \(ABC\)?
Да, может. Проекцией треугольника является треугольник не всегда: три точки, лежащие на одной прямой, тоже могут быть образами вершин треугольника.
Пусть плоскость \(\beta\) параллельна прямой \(l\), задающей направление проектирования, и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(m\). Возьмём в плоскости \(\beta\) треугольник \(ABC\).
Через каждую точку треугольника проведём прямую, параллельную прямой \(l\). Такая прямая проходит через точку плоскости \(\beta\) и параллельна прямой \(l\), а \(l \parallel \beta\), поэтому она лежит в плоскости \(\beta\).
Каждая из этих прямых пересекает плоскость \(\alpha\), а её точки принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому точка пересечения лежит на прямой \(m\) — общей прямой плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, образами всех точек треугольника служат точки прямой \(m\), и образы вершин \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
Образы сторон треугольника — отрезки прямой \(m\), вместе составляющие отрезок с концами в двух крайних из точек \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Взяв треугольник так, чтобы средней оказалась точка \(B_1\), получим в точности фигуру, изображённую на рисунке.
Ответ: да, может — так будет, если плоскость треугольника \(ABC\) параллельна прямой, задающей направление проектирования.
Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника \(ABC\)?
Да, может. Проекцией треугольника является треугольник не всегда: три точки, лежащие на одной прямой, тоже могут быть образами вершин треугольника.
Пусть плоскость \(\beta\) параллельна прямой \(l\), задающей направление проектирования, и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(m\). Возьмём в плоскости \(\beta\) треугольник \(ABC\).
Через каждую точку треугольника проведём прямую, параллельную прямой \(l\). Такая прямая лежит в плоскости \(\beta\): плоскость, проходящая через неё и через прямую \(l\), пересекает плоскость \(\beta\), а так как \(l \parallel \beta\), линия пересечения параллельна прямой \(l\) и проходит через взятую точку, то есть совпадает с проведённой прямой.
Каждая из этих прямых пересекает плоскость \(\alpha\), а её точки принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому точка пересечения лежит на прямой \(m\) — общей прямой плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, образами всех точек треугольника служат точки прямой \(m\), и образы вершин \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.
Образы сторон треугольника — отрезки \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\) прямой \(m\), а вместе они составляют отрезок с концами в двух крайних из точек \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Взяв треугольник так, чтобы средней оказалась точка \(B_1\), получим в точности фигуру, изображённую на рисунке.
Ответ: да, может — так будет, если плоскость треугольника \(ABC\) параллельна прямой, задающей направление проектирования.
