Страница 80 номер 7.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков? 2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков? 3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка? 4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?
Во всех примерах рассматриваем куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Диагональ любой его грани равна \(a\sqrt{2}\).
1) Да, могут. Отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1C\) не равны: \(A_1B_1 = a\), а \(D_1C = a\sqrt{2}\) как диагональ грани \(DCC_1D_1\). При проектировании на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\) их проекциями служат отрезки \(AB\) и \(DC\), а \(AB = DC = a\).
2) Да, могут. При том же проектировании отрезки \(D_1C\) и \(A_1C_1\) равны: каждый из них — диагональ грани куба, то есть равен \(a\sqrt{2}\). Их проекциями служат отрезки \(DC\) и \(AC\), причём \(DC = a\), \(AC = a\sqrt{2}\), и эти отрезки не равны.
3) Да, может. Возьмём проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(A_1C\); эта прямая пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(C\). Ребро \(AA_1\) не параллельно прямой \(A_1C\) и не лежит на ней. Точка \(A\) принадлежит плоскости проектирования, поэтому её образом служит она сама. Точка \(A_1\) принадлежит прямой \(A_1C\), поэтому её образом служит точка пересечения прямой \(A_1C\) с плоскостью \(ABC\), то есть точка \(C\). Значит, образом отрезка \(AA_1\) является отрезок \(AC\), причём \(AA_1 = a\), \(AC = a\sqrt{2}\) и \(a\sqrt{2} > a\).
4) Да, может. Возьмём проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Образом прямой \(A_1B_1\) является прямая \(AB\), а стороны \(A_1B_1\) и \(AB\) квадрата \(ABB_1A_1\) параллельны, поэтому проекция прямой \(A_1B_1\) параллельна самой прямой \(A_1B_1\).
Ответ: 1) да, могут; 2) да, могут; 3) да, может; 4) да, может.
1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков? 2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков? 3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка? 4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?
Во всех примерах рассматриваем куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Диагональ любой его грани равна \(a\sqrt{2}\).
1) Да, могут. Возьмём проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1C\) не равны: \(A_1B_1 = a\), а \(D_1C = a\sqrt{2}\) как диагональ грани \(DCC_1D_1\). Проекцией отрезка \(A_1B_1\) служит отрезок \(AB\), проекцией отрезка \(D_1C\) — отрезок \(DC\), и \(AB = DC = a\).
2) Да, могут. Возьмём то же проектирование. Отрезки \(D_1C\) и \(A_1C_1\) равны: каждый из них — диагональ грани куба, то есть равен \(a\sqrt{2}\). Проекцией отрезка \(D_1C\) служит отрезок \(DC\), равный \(a\), а проекцией отрезка \(A_1C_1\) — отрезок \(AC\), равный \(a\sqrt{2}\). Эти отрезки не равны.
3) Да, может. Возьмём проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(A_1C\); эта прямая пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(C\). Ребро \(AA_1\) не параллельно прямой \(A_1C\) и не лежит на ней. Точка \(A\) принадлежит плоскости проектирования, поэтому её образом служит она сама. Точка \(A_1\) принадлежит прямой \(A_1C\), поэтому проецирующей прямой для неё служит сама прямая \(A_1C\), а плоскость \(ABC\) она пересекает в точке \(C\). Значит, образом точки \(A_1\) является точка \(C\), а образом отрезка \(AA_1\) — отрезок \(AC\). При этом \(AA_1 = a\), \(AC = a\sqrt{2}\) и \(a\sqrt{2} > a\).
4) Да, может. Возьмём проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Образом прямой \(A_1B_1\) является прямая \(AB\). Грань \(ABB_1A_1\) — квадрат, у которого противоположные стороны \(A_1B_1\) и \(AB\) параллельны, поэтому проекция прямой \(A_1B_1\) параллельна самой прямой \(A_1B_1\).
Ответ: 1) да, могут; 2) да, могут; 3) да, может; 4) да, может.
