Страница 80 номер 7.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых: 1) две параллельные прямые; 2) две пересекающиеся прямые; 3) прямая; 4) прямая и точка вне её?
Пусть \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые, \(\alpha\) — плоскость проектирования, \(l\) — прямая, задающая направление проектирования.
Пусть проекциями прямых \(a\) и \(b\) является одна и та же прямая \(c\). Проведём через каждую точку прямой \(c\) прямую, параллельную прямой \(l\) (через точку прямой \(l\) — саму прямую \(l\)). Возьмём две из этих прямых, причём если среди них есть сама прямая \(l\), возьмём её одной из двух: они параллельны, поэтому задают некоторую плоскость \(\gamma\), а эта плоскость содержит две точки прямой \(c\), а значит, и всю прямую \(c\). Через точку \(X\) прямой \(c\), не принадлежащую прямой \(l\), в плоскости \(\gamma\) проходит прямая, параллельная прямой \(l\), а через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому проведённая через точку \(X\) прямая лежит в плоскости \(\gamma\). Сама прямая \(l\), если она проведена, выбрана одной из двух задающих плоскость \(\gamma\), поэтому все проведённые прямые лежат в этой плоскости.
Каждая точка, проекцией которой служит точка прямой \(c\), лежит на одной из проведённых прямых, то есть принадлежит плоскости \(\gamma\). Значит, прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися. Полученное противоречие показывает, что прямая проекцией двух скрещивающихся прямых быть не может.
Остальные три фигуры проекциями двух скрещивающихся прямых быть могут. Во всех примерах рассматриваем куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\).
1) Прямые \(AB_1\) и \(CD_1\) — диагонали противоположных граней куба. Они лежат в параллельных плоскостях этих граней, поэтому не пересекаются; параллельными они не являются, значит, эти прямые скрещивающиеся. Их проекциями являются прямые \(AB\) и \(DC\), а это различные параллельные прямые.
2) Прямые \(AB_1\) и \(A_1D\) скрещивающиеся: точки \(A\), \(B_1\) и \(A_1\) лежат в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а точка \(D\) этой плоскости не принадлежит, поэтому плоскости, содержащей обе прямые, нет. Проекцией прямой \(AB_1\) является прямая \(AB\), а проекцией прямой \(A_1D\) — прямая \(AD\), и эти прямые пересекаются в точке \(A\).
4) Прямые \(AA_1\) и \(B_1C_1\) тоже скрещивающиеся: точки \(A\), \(A_1\) и \(B_1\) лежат в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а точка \(C_1\) этой плоскости не принадлежит. Прямая \(AA_1\) задаёт направление проектирования, поэтому её проекцией служит точка \(A\); проекцией прямой \(B_1C_1\) является прямая \(BC\). Точка \(A\) не принадлежит прямой \(BC\), значит, получается прямая и точка вне её.
Ответ: 3) прямая.
Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых: 1) две параллельные прямые; 2) две пересекающиеся прямые; 3) прямая; 4) прямая и точка вне её?
Пусть \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые, \(\alpha\) — плоскость проектирования, \(l\) — прямая, задающая направление проектирования.
3) Покажем, что одна прямая не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.
Пусть проекциями прямых \(a\) и \(b\) является одна и та же прямая \(c\). Проведём через каждую точку прямой \(c\) прямую, параллельную прямой \(l\) (через точку прямой \(l\) — саму прямую \(l\)). Возьмём две из этих прямых, причём если среди них есть сама прямая \(l\), возьмём её одной из двух. Выбранные прямые параллельны, поэтому задают некоторую плоскость \(\gamma\); эта плоскость содержит две точки прямой \(c\), а значит, содержит и всю прямую \(c\). Пусть \(X\) — точка прямой \(c\), не принадлежащая прямой \(l\). В плоскости \(\gamma\) через точку \(X\) проходит прямая, параллельная одной из двух выбранных прямых, а потому параллельная и прямой \(l\); но через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому проведённая через точку \(X\) прямая лежит в плоскости \(\gamma\). Если же прямая \(l\) проходит через точку прямой \(c\), то проведённая в этой точке прямая — сама прямая \(l\), а она выбрана одной из двух прямых, задающих плоскость \(\gamma\), и потому тоже лежит в этой плоскости.
Каждая точка, проекцией которой служит точка прямой \(c\), лежит на одной из проведённых прямых, то есть принадлежит плоскости \(\gamma\). Значит, прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в плоскости \(\gamma\), то есть в одной плоскости, и не были бы скрещивающимися. Полученное противоречие показывает, что прямая проекцией двух скрещивающихся прямых быть не может.
Остальные три фигуры проекциями двух скрещивающихся прямых быть могут. Во всех примерах рассматриваем куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\).
1) Прямые \(AB_1\) и \(CD_1\) — диагонали противоположных граней куба. Они лежат в параллельных плоскостях этих граней, поэтому не пересекаются. Параллельными они не являются, значит, эти прямые скрещивающиеся. Их проекциями являются прямые \(AB\) и \(DC\), а это различные параллельные прямые.
2) Прямые \(AB_1\) и \(A_1D\) скрещивающиеся: точки \(A\), \(B_1\) и \(A_1\) лежат в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а точка \(D\) этой плоскости не принадлежит, поэтому плоскости, содержащей обе прямые, нет. Проекцией прямой \(AB_1\) является прямая \(AB\), а проекцией прямой \(A_1D\) — прямая \(AD\). Прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\).
4) Прямые \(AA_1\) и \(B_1C_1\) скрещивающиеся: точки \(A\), \(A_1\) и \(B_1\) лежат в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а точка \(C_1\) этой плоскости не принадлежит, поэтому плоскости, содержащей обе прямые, нет. Прямая \(AA_1\) задаёт направление проектирования, поэтому её проекцией служит точка \(A\); проекцией прямой \(B_1C_1\) является прямая \(BC\). Точка \(A\) не принадлежит прямой \(BC\), значит, получается прямая и точка вне её.
Ответ: 3) прямая.
