Страница 80 номер 7.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть: 1) две пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) одна прямая; 4) прямая и точка вне её?
Пусть прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Образ точки \(O\) принадлежит проекции каждой из них, поэтому проекции данных прямых всегда имеют общую точку.
Кроме того, проекцией прямой служит прямая, если эта прямая не параллельна прямой \(l\) и не лежит на ней, и точка, если она параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней.
1) Да, может. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) при проектировании на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\) проекциями пересекающихся в точке \(D_1\) прямых \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) являются пересекающиеся в точке \(D\) прямые \(DA\) и \(DC\).
2) Нет, не может. Проекции прямых \(a\) и \(b\) имеют общую точку — образ точки \(O\), а различные параллельные прямые общих точек не имеют.
3) Да, может. В том же кубе при том же проектировании прямые \(AD_1\) и \(A_1D\) содержат диагонали грани \(ADD_1A_1\), поэтому пересекаются. Плоскость этой грани содержит прямую \(AA_1\), поэтому прямая, проведённая через любую точку этой плоскости параллельно прямой \(AA_1\), лежит в этой плоскости и пересекает плоскость \(ABC\) в точке прямой \(AD\). Значит, проекцией каждой из прямых \(AD_1\) и \(A_1D\) является прямая \(AD\).
4) Нет, не может. Если обе прямые не параллельны прямой \(l\) и не лежат на ней, то их проекциями являются две прямые и точки среди образов нет. Если же одна из них, например прямая \(b\), параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, то её проекцией служит точка \(O_1\) — образ точки \(O\), а эта же точка принадлежит и проекции прямой \(a\). Значит, полученная точка лежит на полученной прямой, а не вне её.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть: 1) две пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) одна прямая; 4) прямая и точка вне её?
Пусть данные прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Образ точки \(O\) принадлежит проекции прямой \(a\) и проекции прямой \(b\), поэтому проекции данных прямых всегда имеют общую точку.
Кроме того, проекцией прямой является прямая, если эта прямая не параллельна прямой \(l\) и не лежит на ней; если же прямая параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, её проекцией является точка.
1) Да, может. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Прямые \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) пересекаются в точке \(D_1\), а их проекциями являются пересекающиеся в точке \(D\) прямые \(DA\) и \(DC\).
2) Нет, не может. Проекции прямых \(a\) и \(b\) имеют общую точку — образ точки \(O\), а различные параллельные прямые общих точек не имеют.
3) Да, может. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и проектирование на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Прямые \(AD_1\) и \(A_1D\) содержат диагонали грани \(ADD_1A_1\), поэтому пересекаются. Плоскость этой грани содержит прямую \(AA_1\), поэтому прямая, проведённая через любую точку этой плоскости параллельно прямой \(AA_1\), лежит в этой плоскости и пересекает плоскость \(ABC\) в точке прямой \(AD\). Значит, проекцией каждой из прямых \(AD_1\) и \(A_1D\) является одна и та же прямая \(AD\).
4) Нет, не может. Если обе данные прямые не параллельны прямой \(l\) и не лежат на ней, то их проекциями являются две прямые и точки среди образов нет. Если же одна из данных прямых, например прямая \(b\), параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, то её проекцией служит точка \(O_1\) — образ точки \(O\). Эта же точка принадлежит и проекции прямой \(a\). Значит, полученная точка лежит на полученной прямой, а не вне её.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
