Страница 80 номер 7.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Фигура состоит из трёх точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?
Пусть даны плоскость \(\alpha\) и прямая \(l\), пересекающая эту плоскость. Через каждую точку проходит только одна прямая, параллельная прямой \(l\) (или сама прямая \(l\), если точка ей принадлежит), и эта прямая пересекает плоскость \(\alpha\) в одной точке. Поэтому две данные точки имеют один и тот же образ тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой, параллельной прямой \(l\) или совпадающей с ней.
Если никакие две из трёх данных точек не лежат на такой прямой, то все три образа различны и проекция состоит из трёх точек.
Если ровно одна пара данных точек лежит на одной прямой, параллельной прямой \(l\) или совпадающей с ней, то образы точек этой пары совпадают, а образ третьей точки от них отличен; проекция состоит из двух точек.
Если все три данные точки лежат на одной такой прямой, то все три образа совпадают и проекция состоит из одной точки.
Случая, когда таких пар ровно две, не бывает: пусть точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(p\), а точки \(B\) и \(C\) — на прямой \(q\), причём каждая из прямых \(p\) и \(q\) параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней. Обе прямые проходят через точку \(B\), а через точку \(B\) проходит только одна такая прямая, поэтому \(p\) и \(q\) совпадают и все три данные точки лежат на одной прямой. Значит, совпасть могут либо два образа, либо все три.
Ответ: параллельная проекция такой фигуры может состоять из одной, из двух или из трёх точек.
Фигура состоит из трёх точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?
Пусть даны плоскость \(\alpha\) и прямая \(l\), пересекающая эту плоскость. Проекцией точки служит точка, в которой прямая, проведённая через данную точку параллельно прямой \(l\) (или сама прямая \(l\), если точка ей принадлежит), пересекает плоскость \(\alpha\).
Через каждую точку проходит только одна такая прямая, и она пересекает плоскость \(\alpha\) в одной точке. Поэтому две данные точки имеют один и тот же образ тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой, параллельной прямой \(l\) или совпадающей с ней.
Если никакие две из трёх данных точек не лежат на такой прямой, то все три образа различны и проекция состоит из трёх точек.
Если ровно одна пара данных точек лежит на одной прямой, параллельной прямой \(l\) или совпадающей с ней, то образы точек этой пары совпадают, а образ третьей точки от них отличен; проекция состоит из двух точек.
Если все три данные точки лежат на одной прямой, параллельной прямой \(l\) или совпадающей с ней, то все три образа совпадают и проекция состоит из одной точки.
Случая, когда таких пар ровно две, не бывает. Действительно, пусть точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(p\), а точки \(B\) и \(C\) — на прямой \(q\), причём каждая из прямых \(p\) и \(q\) параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней. Обе прямые проходят через точку \(B\), а через точку \(B\) проходит только одна такая прямая, поэтому \(p\) и \(q\) совпадают и все три данные точки лежат на одной прямой. Значит, совпасть могут либо два образа, либо все три.
Ответ: параллельная проекция такой фигуры может состоять из одной, из двух или из трёх точек.
