Страница 82 номер 7.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) равны соответственно 10 см и 35 см. Сумма углов \(A\) и \(D\) равна \(90^\circ\), а высота трапеции равна 12 см. Найдите боковые стороны трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(BC = 10\) см
\(AD = 35\) см
\(\angle A + \angle D = 90^\circ\)
\(CH\) — высота, \(CH = 12\) см
Найти: боковые стороны \(AB\) и \(CD\).
Решение: Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает основание \(AD\) в точке \(E\).
Стороны \(BC\) и \(AE\) четырёхугольника \(ABCE\) лежат на параллельных прямых \(BC\) и \(AD\), а стороны \(AB\) и \(EC\) параллельны по построению, поэтому \(ABCE\) — параллелограмм, \(AE = BC = 10\) см и \(CE = AB\).
Точка \(E\) лежит между точками \(A\) и \(D\), поэтому \(ED = AD - AE = 35 - 10 = 25\) (см).
Углы \(CED\) и \(A\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AB\) и \(EC\) и секущей \(AD\), поэтому \(\angle CED + \angle D = \angle A + \angle D = 90^\circ\). Сумма углов треугольника \(ECD\) равна \(180^\circ\), значит, \(\angle ECD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\), то есть треугольник \(ECD\) прямоугольный с гипотенузой \(ED\), а отрезок \(CH = 12\) см — его высота, проведённая к стороне \(ED\).
Обозначим \(CE = p\), \(CD = q\). По теореме Пифагора \(p^2 + q^2 = ED^2 = 625\). Площадь треугольника \(ECD\) равна половине произведения катетов и половине произведения стороны \(ED\) на высоту \(CH\), поэтому \(\frac{1}{2}pq = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12\), откуда \(pq = 300\).
Тогда \((p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 = 625 + 600 = 1225\), и, поскольку \(p + q > 0\), получаем \(p + q = 35\). Кроме того, \((p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2 = 625 - 600 = 25\), откуда \(|p - q| = 5\).
Значит, длины \(p\) и \(q\) — это числа 15 и 20. Боковые стороны трапеции равны \(AB = CE = p\) и \(CD = q\), то есть 15 см и 20 см.
Ответ: 15 см и 20 см.
В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) равны соответственно 10 см и 35 см. Сумма углов \(A\) и \(D\) равна \(90^\circ\), а высота трапеции равна 12 см. Найдите боковые стороны трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(BC = 10\) см
\(AD = 35\) см
\(\angle A + \angle D = 90^\circ\)
\(CH\) — высота, \(CH = 12\) см
Найти: боковые стороны \(AB\) и \(CD\).
Решение: Проведём через вершину \(C\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает основание \(AD\) в точке \(E\).
В четырёхугольнике \(ABCE\) стороны \(BC\) и \(AE\) лежат на параллельных прямых \(BC\) и \(AD\), а стороны \(AB\) и \(EC\) параллельны по построению, поэтому \(ABCE\) — параллелограмм. Отсюда \(AE = BC = 10\) см и \(CE = AB\).
Точка \(E\) лежит между точками \(A\) и \(D\), поэтому \(ED = AD - AE = 35 - 10 = 25\) (см).
Углы \(CED\) и \(A\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AB\) и \(EC\) и секущей \(AD\), поэтому \(\angle CED + \angle D = \angle A + \angle D = 90^\circ\). Сумма углов треугольника \(ECD\) равна \(180^\circ\), значит, \(\angle ECD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\), то есть треугольник \(ECD\) прямоугольный с гипотенузой \(ED\).
Отрезок \(CH\) — высота треугольника \(ECD\), проведённая к стороне \(ED\), и \(CH = 12\) см.
Обозначим \(CE = p\), \(CD = q\). По теореме Пифагора \(p^2 + q^2 = ED^2 = 625\).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, поэтому \(\frac{1}{2}pq = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12\), откуда \(pq = 300\).
Тогда \((p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 = 625 + 600 = 1225\), и, поскольку \(p + q > 0\), получаем \(p + q = 35\).
Кроме того, \((p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2 = 625 - 600 = 25\), откуда \(|p - q| = 5\).
Значит, длины \(p\) и \(q\) — это числа 15 и 20: их сумма равна 35, а разность по модулю равна 5.
Боковые стороны трапеции равны \(AB = CE = p\) и \(CD = q\), то есть 15 см и 20 см.
Какая именно из боковых сторон равна 15 см, а какая — 20 см, условие не определяет: числа \(p\) и \(q\) входят в равенства \(p^2 + q^2 = 625\) и \(pq = 300\) одинаково, и обе расстановки дают трапецию с данными основаниями, данной высотой и данной суммой углов \(A\) и \(D\).
Ответ: 15 см и 20 см.
