Страница 82 номер 7.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является трапеция \(ABCD\), в которой основание \(BC\) в три раза меньше основания \(AD\). Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\). Плоскость \(ABM\) пересекает прямую \(DD_1\) в точке \(N\). Найдите отношение \(D_1N : ND\).
Дано:
призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AD = 3BC\)
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)
\(N\) — точка пересечения плоскости \(ABM\) с прямой \(DD_1\)
Найти: отношение \(D_1N : ND\).
Решение: Основания \(BC\) и \(AD\) трапеции \(ABCD\) параллельны и не равны, поэтому её боковые стороны не параллельны: иначе \(ABCD\) был бы параллелограммом и \(BC = AD\). Прямые \(AB\) и \(DC\) лежат в плоскости \(ABC\) и не параллельны, поэтому они пересекаются в некоторой точке \(S\).
Треугольники \(SBC\) и \(SAD\) подобны: угол \(S\) у них общий, а углы \(SBC\) и \(SAD\) равны как соответственные при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AS\). Коэффициент подобия равен \(\frac{BC}{AD} = \frac{1}{3}\), поэтому \(SC : SD = 1 : 3\), причём точка \(C\) лежит между точками \(S\) и \(D\).
Точка \(S\) лежит на прямой \(AB\), поэтому она принадлежит плоскости \(ABM\); она лежит и на прямой \(DC\), поэтому принадлежит плоскости грани \(DCC_1D_1\). Плоскости \(ABM\) и \(DCC_1D_1\) имеют две общие точки \(S\) и \(M\), поэтому они пересекаются по прямой \(SM\).
Точка \(N\) принадлежит плоскости \(ABM\) и прямой \(DD_1\), лежащей в плоскости \(DCC_1D_1\), поэтому она принадлежит обеим этим плоскостям, то есть лежит на прямой \(SM\).
Боковые рёбра призмы параллельны и равны, поэтому \(CM \parallel DN\). Треугольники \(SCM\) и \(SDN\) подобны: угол \(S\) у них общий, а углы \(SCM\) и \(SDN\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CM\) и \(DN\) и секущей \(SD\). Коэффициент подобия равен \(\frac{SC}{SD} = \frac{1}{3}\), поэтому \(DN = 3CM\).
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\), поэтому \(CM = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}DD_1\), и тогда \(DN = \frac{3}{2}DD_1\). Значит, \(DN > DD_1\), то есть точка \(D_1\) лежит между точками \(D\) и \(N\), и
\[D_1N = DN - DD_1 = \frac{3}{2}DD_1 - DD_1 = \frac{1}{2}DD_1.\]
Отсюда \(D_1N : ND = \frac{1}{2}DD_1 : \frac{3}{2}DD_1 = 1 : 3\).
Ответ: \(D_1N : ND = 1 : 3\).
Основанием призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является трапеция \(ABCD\), в которой основание \(BC\) в три раза меньше основания \(AD\). Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\). Плоскость \(ABM\) пересекает прямую \(DD_1\) в точке \(N\). Найдите отношение \(D_1N : ND\).
Дано:
призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AD = 3BC\)
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)
\(N\) — точка пересечения плоскости \(ABM\) с прямой \(DD_1\)
Найти: отношение \(D_1N : ND\).
Решение: Основания \(BC\) и \(AD\) трапеции \(ABCD\) параллельны и не равны, поэтому её боковые стороны не параллельны: иначе \(ABCD\) был бы параллелограммом и \(BC = AD\). Прямые \(AB\) и \(DC\) лежат в плоскости \(ABC\) и не параллельны, поэтому они пересекаются в некоторой точке \(S\).
Треугольники \(SBC\) и \(SAD\) подобны: угол \(S\) у них общий, а углы \(SBC\) и \(SAD\) равны как соответственные при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AS\). Коэффициент подобия равен \(\frac{BC}{AD} = \frac{1}{3}\), поэтому \(SC : SD = 1 : 3\), причём точка \(C\) лежит между точками \(S\) и \(D\).
Точка \(S\) лежит на прямой \(AB\), поэтому она принадлежит плоскости \(ABM\). Точка \(S\) лежит и на прямой \(DC\), поэтому она принадлежит плоскости грани \(DCC_1D_1\). Плоскости \(ABM\) и \(DCC_1D_1\) имеют две общие точки \(S\) и \(M\), поэтому они пересекаются по прямой \(SM\).
Точка \(N\) принадлежит плоскости \(ABM\) и прямой \(DD_1\), лежащей в плоскости \(DCC_1D_1\), поэтому она принадлежит обеим этим плоскостям, то есть лежит на прямой \(SM\).
Боковые рёбра призмы параллельны и равны, поэтому \(CM \parallel DN\). Треугольники \(SCM\) и \(SDN\) подобны: угол \(S\) у них общий, а углы \(SCM\) и \(SDN\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CM\) и \(DN\) и секущей \(SD\). Коэффициент подобия равен \(\frac{SC}{SD} = \frac{1}{3}\), поэтому \(DN = 3CM\).
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\), поэтому \(CM = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2}DD_1\), и тогда \(DN = \frac{3}{2}DD_1\). Значит, \(DN > DD_1\), то есть точка \(D_1\) лежит между точками \(D\) и \(N\), и
\[D_1N = DN - DD_1 = \frac{3}{2}DD_1 - DD_1 = \frac{1}{2}DD_1.\]
Отсюда \(D_1N : ND = \frac{1}{2}DD_1 : \frac{3}{2}DD_1 = 1 : 3\).
Ответ: \(D_1N : ND = 1 : 3\).
