Страница 82 номер 7.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\). На ребре \(BC\) отмечена точка \(K\). Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Докажите, что \(BK : KC = DP : PA\).
Рассмотрим параллельную проекцию тетраэдра \(DABC\) на плоскость \(ABD\) в направлении прямой \(MN\).
Точка \(N\) — середина ребра \(BD\) — принадлежит плоскости \(ABD\), а точка \(M\) ей не принадлежит: иначе прямая \(AM\), то есть прямая \(AC\), лежала бы в плоскости \(ABD\) и точка \(C\) принадлежала бы этой плоскости. Значит, прямая \(MN\) пересекает плоскость \(ABD\) в точке \(N\).
Точки \(A\), \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости проектирования и являются своими образами. Обозначим образ точки \(C\) через \(C_1\).
Точка \(M\) лежит на прямой \(MN\), поэтому её образом является точка \(N\). С другой стороны, \(M\) — середина отрезка \(AC\), а отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, при проектировании сохраняется, поэтому образ точки \(M\) — середина отрезка \(AC_1\). Значит, точка \(N\) — середина отрезка \(AC_1\).
Точка \(N\) — середина отрезка \(BD\), поэтому диагонали \(AC_1\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABC_1D\) точкой \(N\) делятся пополам, и \(ABC_1D\) — параллелограмм.
Точка \(K\) лежит на отрезке \(BC\), поэтому её образ \(K_1\) лежит на отрезке \(BC_1\), причём \(BK : KC = BK_1 : K_1C_1\). Точка \(P\) лежит на ребре \(AD\), принадлежащем плоскости проектирования, поэтому она является своим образом.
Плоскость \(MNK\) содержит прямую \(MN\), поэтому проецирующая прямая каждой её точки лежит в этой плоскости, и все точки плоскости \(MNK\) проецируются в точки одной прямой — линии пересечения плоскости \(MNK\) с плоскостью \(ABD\). Значит, точки \(N\), \(K_1\) и \(P\) — образы точек \(M\), \(K\) и \(P\) — лежат на одной прямой.
В треугольниках \(BNK_1\) и \(DNP\) стороны \(BN\) и \(DN\) равны, углы \(BNK_1\) и \(DNP\) равны как вертикальные, а углы \(NBK_1\) и \(NDP\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC_1\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, и \(BK_1 = DP\).
Противоположные стороны \(BC_1\) и \(AD\) параллелограмма равны, поэтому \(K_1C_1 = BC_1 - BK_1 = AD - DP = PA\).
Следовательно, \(BK : KC = BK_1 : K_1C_1 = DP : PA\).
Ответ: \(BK : KC = DP : PA\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\). На ребре \(BC\) отмечена точка \(K\). Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Докажите, что \(BK : KC = DP : PA\).
Рассмотрим параллельную проекцию тетраэдра \(DABC\) на плоскость \(ABD\) в направлении прямой \(MN\).
Точка \(N\) — середина ребра \(BD\) — принадлежит плоскости \(ABD\), а точка \(M\) ей не принадлежит: иначе прямая \(AM\), то есть прямая \(AC\), лежала бы в плоскости \(ABD\) и точка \(C\) принадлежала бы этой плоскости. Значит, прямая \(MN\) пересекает плоскость \(ABD\) в точке \(N\).
Точки \(A\), \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости проектирования и являются своими образами. Обозначим образ точки \(C\) через \(C_1\).
Точка \(M\) лежит на прямой \(MN\), поэтому её образом является точка \(N\). С другой стороны, \(M\) — середина отрезка \(AC\), а отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, при проектировании сохраняется, поэтому образ точки \(M\) — середина отрезка \(AC_1\). Значит, точка \(N\) — середина отрезка \(AC_1\).
Точка \(N\) — середина отрезка \(BD\), поэтому диагонали \(AC_1\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABC_1D\) точкой \(N\) делятся пополам, и \(ABC_1D\) — параллелограмм.
Точка \(K\) лежит на отрезке \(BC\), поэтому её образ \(K_1\) лежит на отрезке \(BC_1\), причём \(BK : KC = BK_1 : K_1C_1\). Точка \(P\) лежит на ребре \(AD\), принадлежащем плоскости проектирования, поэтому она является своим образом.
Плоскость \(MNK\) содержит прямую \(MN\), поэтому проецирующая прямая каждой её точки лежит в этой плоскости: через точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная лежащей в этой плоскости прямой \(MN\). Значит, все точки плоскости \(MNK\) проецируются в точки одной прямой — линии пересечения плоскости \(MNK\) с плоскостью \(ABD\). Точки \(N\), \(K_1\) и \(P\) — образы точек \(M\), \(K\) и \(P\) плоскости \(MNK\), поэтому они лежат на одной прямой.
В треугольниках \(BNK_1\) и \(DNP\) стороны \(BN\) и \(DN\) равны, углы \(BNK_1\) и \(DNP\) равны как вертикальные, а углы \(NBK_1\) и \(NDP\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC_1\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, и \(BK_1 = DP\).
Противоположные стороны \(BC_1\) и \(AD\) параллелограмма равны, поэтому \(K_1C_1 = BC_1 - BK_1 = AD - DP = PA\).
Следовательно, \(BK : KC = BK_1 : K_1C_1 = DP : PA\).
Ответ: \(BK : KC = DP : PA\).
