Страница 82 номер 7.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Каждая из двух четвёрок точек \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) и \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\), \(D_2\) является параллельной проекцией точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) на плоскость \(\alpha\) в направлении непараллельных прямых \(l_1\) и \(l_2\) соответственно. Известно, что четырёхугольники \(A_1B_1C_1D_1\) и \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеции. Верно ли, что точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) являются вершинами трапеции?
Рассмотрим куб \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\) и возьмём \(A = M\), \(B = N_1\), \(C = P\), \(D = Q_1\). Проектировать будем на плоскость \(\alpha\) грани \(MNPQ\).
Прямая \(AB\) лежит в плоскости грани \(MNN_1M_1\), а прямая \(CD\) — в плоскости параллельной ей грани \(QPP_1Q_1\), поэтому общих точек у них нет. Рёбра \(MQ\) и \(N_1P_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(MQP_1N_1\) — параллелограмм и \(MN_1 \parallel QP_1\). Прямые \(QP_1\) и \(PQ_1\) содержат диагонали квадрата \(QPP_1Q_1\) и потому не параллельны, значит, прямые \(MN_1\) и \(PQ_1\) тоже не параллельны. Следовательно, прямые \(AB\) и \(CD\) скрещиваются, и точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) не лежат в одной плоскости: вершинами трапеции они не являются.
Пусть \(G\) — середина ребра \(MN\), \(H\) — середина ребра \(MQ\). Возьмём в качестве \(l_1\) прямую \(N_1G\), а в качестве \(l_2\) — прямую \(Q_1H\).
Проекция в направлении прямой \(l_1\). Точки \(A = M\) и \(C = P\) принадлежат плоскости \(\alpha\) и являются своими образами: \(A_1 = M\), \(C_1 = P\). Точка \(B = N_1\) лежит на прямой \(l_1\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(G\), поэтому \(B_1 = G\).
Проецирующие прямые \(N_1G\) и \(Q_1D_1\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость. Она пересекает параллельные плоскости \(M_1N_1P_1Q_1\) и \(\alpha\) по прямым \(N_1Q_1\) и \(GD_1\), значит, \(N_1Q_1 \parallel GD_1\), четырёхугольник \(N_1Q_1D_1G\) — параллелограмм, \(GD_1 = N_1Q_1 = NQ\) и \(GD_1 \parallel NQ\).
Параллельный перенос, при котором образом точки \(N\) является точка \(Q\), переводит прямую \(MN\) в прямую \(QP\), а точку \(G\) — в точку \(D_1\). Поэтому точка \(D_1\) лежит на прямой \(QP\), \(QD_1 = NG = \frac{1}{2}MN\), причём точка \(Q\) лежит между точками \(D_1\) и \(P\).
Отрезки \(A_1B_1 = MG\) и \(C_1D_1 = PD_1\) лежат на параллельных прямых \(MN\) и \(QP\), поэтому \(A_1B_1 \parallel C_1D_1\). При этом \(A_1B_1 = \frac{1}{2}MN\), а \(C_1D_1 = PQ + QD_1 = \frac{3}{2}MN\), то есть эти стороны не равны. Если бы стороны \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\) были параллельны, то четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) был бы параллелограммом с равными сторонами \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\). Значит, \(A_1B_1C_1D_1\) — трапеция.
Проекция в направлении прямой \(l_2\). Так же получаем \(A_2 = M\), \(C_2 = P\), \(D_2 = H\), а точка \(B_2\) лежит на прямой \(NP\), причём \(NB_2 = \frac{1}{2}MQ\) и точка \(N\) лежит между точками \(B_2\) и \(P\).
Отрезки \(A_2D_2 = MH\) и \(B_2C_2 = B_2P\) лежат на параллельных прямых \(MQ\) и \(NP\), поэтому они параллельны, причём \(A_2D_2 = \frac{1}{2}MQ\), а \(B_2C_2 = NP + NB_2 = \frac{3}{2}MQ\). Как и выше, отсюда следует, что \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеция.
Прямые \(l_1\) и \(l_2\) не параллельны: иначе проектирование в направлении каждой из них было бы одним и тем же преобразованием и точки \(B_1\) и \(B_2\) совпадали бы. Но точка \(B_1 = G\) лежит на прямой \(MN\), точка \(B_2\) — на прямой \(NP\), и ни одна из них не совпадает с точкой \(N\) — единственной общей точкой этих прямых.
Значит, обе четвёрки точек — вершины трапеций, а точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) вершинами трапеции не являются.
Ответ: неверно.
Каждая из двух четвёрок точек \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) и \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\), \(D_2\) является параллельной проекцией точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) на плоскость \(\alpha\) в направлении непараллельных прямых \(l_1\) и \(l_2\) соответственно. Известно, что четырёхугольники \(A_1B_1C_1D_1\) и \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеции. Верно ли, что точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) являются вершинами трапеции?
Рассмотрим куб \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\) и возьмём \(A = M\), \(B = N_1\), \(C = P\), \(D = Q_1\). Проектировать будем на плоскость \(\alpha\) грани \(MNPQ\).
Прямая \(AB\) лежит в плоскости грани \(MNN_1M_1\), а прямая \(CD\) — в плоскости параллельной ей грани \(QPP_1Q_1\), поэтому общих точек у них нет. Рёбра \(MQ\) и \(N_1P_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(MQP_1N_1\) — параллелограмм и \(MN_1 \parallel QP_1\). Прямые \(QP_1\) и \(PQ_1\) содержат диагонали квадрата \(QPP_1Q_1\) и потому не параллельны, значит, прямые \(MN_1\) и \(PQ_1\) тоже не параллельны. Следовательно, прямые \(AB\) и \(CD\) скрещиваются, и точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) не лежат в одной плоскости: вершинами трапеции они не являются.
Пусть \(G\) — середина ребра \(MN\), \(H\) — середина ребра \(MQ\). Возьмём в качестве \(l_1\) прямую \(N_1G\), а в качестве \(l_2\) — прямую \(Q_1H\).
Проекция в направлении прямой \(l_1\). Точки \(A = M\) и \(C = P\) принадлежат плоскости \(\alpha\) и являются своими образами: \(A_1 = M\), \(C_1 = P\). Точка \(B = N_1\) лежит на прямой \(l_1\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(G\), поэтому \(B_1 = G\).
Проецирующие прямые \(N_1G\) и \(Q_1D_1\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость. Она пересекает параллельные плоскости \(M_1N_1P_1Q_1\) и \(\alpha\) по прямым \(N_1Q_1\) и \(GD_1\), значит, \(N_1Q_1 \parallel GD_1\). Четырёхугольник \(N_1Q_1D_1G\) — параллелограмм, поэтому \(GD_1 = N_1Q_1 = NQ\) и \(GD_1 \parallel NQ\).
Параллельный перенос, при котором образом точки \(N\) является точка \(Q\), переводит прямую \(MN\) в прямую \(QP\), а точку \(G\) — в точку \(D_1\). Поэтому точка \(D_1\) лежит на прямой \(QP\), \(QD_1 = NG = \frac{1}{2}MN\), причём точка \(Q\) лежит между точками \(D_1\) и \(P\).
Отрезки \(A_1B_1 = MG\) и \(C_1D_1 = PD_1\) лежат на параллельных прямых \(MN\) и \(QP\), поэтому \(A_1B_1 \parallel C_1D_1\). При этом \(A_1B_1 = \frac{1}{2}MN\), а \(C_1D_1 = PQ + QD_1 = \frac{3}{2}MN\), то есть эти стороны не равны. Если бы стороны \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\) были параллельны, то четырёхугольник \(A_1B_1C_1D_1\) был бы параллелограммом и его противоположные стороны \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) были бы равны. Значит, \(A_1B_1C_1D_1\) — трапеция.
Проекция в направлении прямой \(l_2\). Так же получаем \(A_2 = M\), \(C_2 = P\), \(D_2 = H\), а точка \(B_2\) лежит на прямой \(NP\), причём \(NB_2 = \frac{1}{2}MQ\) и точка \(N\) лежит между точками \(B_2\) и \(P\).
Отрезки \(A_2D_2 = MH\) и \(B_2C_2 = B_2P\) лежат на параллельных прямых \(MQ\) и \(NP\), поэтому они параллельны, причём \(A_2D_2 = \frac{1}{2}MQ\), а \(B_2C_2 = NP + NB_2 = \frac{3}{2}MQ\). Как и выше, отсюда следует, что \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеция.
Прямые \(l_1\) и \(l_2\) не параллельны: если бы они были параллельны, то проектирование в направлении каждой из них было бы одним и тем же преобразованием и точки \(B_1\) и \(B_2\) совпадали бы. Но точка \(B_1 = G\) лежит на прямой \(MN\), точка \(B_2\) — на прямой \(NP\), и ни одна из них не совпадает с точкой \(N\) — единственной общей точкой этих прямых.
Значит, обе четвёрки точек — вершины трапеций, а точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) вершинами трапеции не являются.
Ответ: неверно.
