Страница 82 номер 7.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Известно, что любой параллельной проекцией скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\) на данную плоскость \(\alpha\) являются пересекающиеся прямые. Определите взаимное расположение прямых \(a\) и \(b\) и плоскости \(\alpha\).
Направление проектирования задаётся прямой, которая пересекает плоскость \(\alpha\), не параллельна ни прямой \(a\), ни прямой \(b\) и не совпадает ни с одной из них: только при таком направлении проекциями обеих прямых являются прямые.
Ни одна из прямых \(a\) и \(b\) не пересекает плоскость \(\alpha\). Допустим противное: пусть, например, прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой: пусть плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(a\) параллельно прямой \(b\), а плоскость \(\delta\) — через прямую \(b\) параллельно прямой \(a\). Эти плоскости параллельны.
Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\gamma\) и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому плоскости \(\gamma\) и \(\alpha\) различны и имеют общую точку, то есть пересекаются по некоторой прямой; обозначим её \(a_1\).
Возьмём в плоскости \(\gamma\) прямую \(l\), которая не параллельна ни прямой \(a\), ни прямой \(b\), ни прямой \(a_1\) и не совпадает ни с одной из них; такая прямая найдётся. Прямые \(l\) и \(a_1\) лежат в плоскости \(\gamma\) и не параллельны, поэтому они пересекаются, а значит, прямая \(l\) пересекает и плоскость \(\alpha\). Будем проектировать в направлении прямой \(l\).
Проецирующие прямые точек прямой \(a\) проходят через точки плоскости \(\gamma\) параллельно лежащей в ней прямой \(l\), поэтому все они лежат в плоскости \(\gamma\), и образом прямой \(a\) является прямая \(a_1\).
Прямая \(l\) лежит в плоскости \(\gamma\), параллельной плоскости \(\delta\), поэтому \(l \parallel \delta\), и проецирующие прямые точек прямой \(b\) лежат в плоскости \(\delta\). Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(\delta\): если бы они были параллельны, то плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) были бы параллельны одной и той же плоскости \(\delta\) и потому параллельны между собой, а они пересекаются. Значит, образом прямой \(b\) является прямая \(b_1\) пересечения плоскостей \(\delta\) и \(\alpha\).
Параллельные плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) пересечены плоскостью \(\alpha\), поэтому \(a_1 \parallel b_1\), причём эти прямые различны: одна лежит в плоскости \(\gamma\), другая — в плоскости \(\delta\), а общих точек у этих плоскостей нет.
Значит, при выбранном направлении проекции прямых \(a\) и \(b\) не пересекаются, что противоречит условию. Следовательно, каждая из прямых \(a\) и \(b\) параллельна плоскости \(\alpha\) или лежит в ней. Обе лежать в плоскости \(\alpha\) они не могут: тогда они не были бы скрещивающимися.
При таком расположении проекции действительно пересекаются при любом направлении. Пусть прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Проецирующие прямые точек прямой \(a\) лежат в одной плоскости, проходящей через прямую \(a\), и образом прямой \(a\) является прямая \(a_1\) пересечения этой плоскости с плоскостью \(\alpha\). Эта плоскость проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому \(a \parallel a_1\).
Если же прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), то каждая её точка является своим образом, и образом прямой \(a\) является сама прямая \(a\). Значит, в обоих случаях образ прямой \(a\) параллелен прямой \(a\) или совпадает с ней, и то же верно для прямой \(b\).
Если бы прямые \(a_1\) и \(b_1\) не пересекались, то, лёжа в одной плоскости \(\alpha\), они были бы параллельны или совпадали. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому тогда были бы параллельны и прямые \(a\) и \(b\), а они скрещиваются. Следовательно, прямые \(a_1\) и \(b_1\) пересекаются при любом допустимом направлении проектирования.
Ответ: плоскость \(\alpha\) параллельна каждой из прямых \(a\) и \(b\) или содержит одну из данных прямых и параллельна другой.
Известно, что любой параллельной проекцией скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\) на данную плоскость \(\alpha\) являются пересекающиеся прямые. Определите взаимное расположение прямых \(a\) и \(b\) и плоскости \(\alpha\).
Направление проектирования задаётся прямой, которая пересекает плоскость \(\alpha\), не параллельна ни прямой \(a\), ни прямой \(b\) и не совпадает ни с одной из них: только при таком направлении проекциями обеих прямых являются прямые.
Ни одна из прямых \(a\) и \(b\) не пересекает плоскость \(\alpha\). Допустим противное: пусть, например, прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой; пусть плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(a\) параллельно прямой \(b\), а плоскость \(\delta\) — через прямую \(b\) параллельно прямой \(a\). Эти плоскости параллельны.
Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\gamma\) и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому плоскости \(\gamma\) и \(\alpha\) различны и имеют общую точку, то есть пересекаются по некоторой прямой; обозначим её \(a_1\).
Возьмём в плоскости \(\gamma\) прямую \(l\), которая не параллельна ни прямой \(a\), ни прямой \(b\), ни прямой \(a_1\) и не совпадает ни с одной из них; такая прямая найдётся, потому что в плоскости есть сколько угодно попарно непараллельных прямых. Прямые \(l\) и \(a_1\) лежат в плоскости \(\gamma\) и не параллельны, поэтому они пересекаются, а значит, прямая \(l\) пересекает и плоскость \(\alpha\). Будем проектировать в направлении прямой \(l\).
Проецирующие прямые точек прямой \(a\) проходят через точки плоскости \(\gamma\) параллельно лежащей в ней прямой \(l\), поэтому все они лежат в плоскости \(\gamma\), и образ прямой \(a\) лежит на прямой \(a_1\). Образом прямой является прямая, поэтому образ прямой \(a\) — это прямая \(a_1\).
Прямая \(l\) лежит в плоскости \(\gamma\), параллельной плоскости \(\delta\), поэтому \(l \parallel \delta\), и проецирующие прямые точек прямой \(b\) лежат в плоскости \(\delta\). Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(\delta\): если бы они были параллельны, то плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) были бы параллельны одной и той же плоскости \(\delta\) и потому параллельны между собой, а они пересекаются. Значит, образом прямой \(b\) является прямая \(b_1\) пересечения плоскостей \(\delta\) и \(\alpha\).
Параллельные плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) пересечены плоскостью \(\alpha\), поэтому \(a_1 \parallel b_1\), причём эти прямые различны: одна лежит в плоскости \(\gamma\), другая — в плоскости \(\delta\), а общих точек у этих плоскостей нет.
Значит, при выбранном направлении проекции прямых \(a\) и \(b\) не пересекаются, что противоречит условию. Следовательно, ни прямая \(a\), ни прямая \(b\) плоскость \(\alpha\) не пересекает, то есть каждая из них параллельна плоскости \(\alpha\) или лежит в ней. Обе лежать в плоскости \(\alpha\) они не могут: тогда они не были бы скрещивающимися.
При таком расположении проекции действительно пересекаются при любом направлении. Пусть прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Проецирующие прямые точек прямой \(a\) лежат в одной плоскости, проходящей через прямую \(a\), и образом прямой \(a\) является прямая \(a_1\) пересечения этой плоскости с плоскостью \(\alpha\). Эта плоскость проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому \(a \parallel a_1\).
Если же прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), то каждая её точка является своим образом, и образом прямой \(a\) является сама прямая \(a\). Значит, в обоих случаях образ прямой \(a\) параллелен прямой \(a\) или совпадает с ней, и то же верно для прямой \(b\).
Если бы прямые \(a_1\) и \(b_1\) не пересекались, то, лёжа в одной плоскости \(\alpha\), они были бы параллельны или совпадали. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому тогда были бы параллельны и прямые \(a\) и \(b\), а они скрещиваются. Следовательно, прямые \(a_1\) и \(b_1\) пересекаются при любом допустимом направлении проектирования.
Ответ: плоскость \(\alpha\) параллельна каждой из прямых \(a\) и \(b\) или содержит одну из данных прямых и параллельна другой.
