Страница 82 номер 7.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются. Параллельной проекцией прямых \(a\) и \(b\) как на плоскость \(\alpha\), так и на плоскость \(\beta\) являются параллельные прямые. Верно ли, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны?
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямые \(a = AB_1\) и \(b = CD_1\).
Плоскость \(ABB_1\) содержит пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AA_1\), соответственно параллельные пересекающимся прямым \(DC\) и \(DD_1\) плоскости \(DCC_1\), поэтому \(ABB_1 \parallel DCC_1\). Прямая \(AB_1\) лежит в первой из этих плоскостей, прямая \(CD_1\) — во второй, поэтому общих точек у них нет.
Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм и \(AB_1 \parallel DC_1\). Прямые \(DC_1\) и \(CD_1\) содержат диагонали квадрата \(DCC_1D_1\) и потому не параллельны, значит, не параллельны и прямые \(AB_1\) и \(CD_1\). Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются.
Спроектируем их на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\) и являются своими образами; прямые \(B_1B\) и \(D_1D\) параллельны прямой \(AA_1\), поэтому образами точек \(B_1\) и \(D_1\) являются точки \(B\) и \(D\). Значит, образом прямой \(a\) является прямая \(AB\), а образом прямой \(b\) — прямая \(DC\), и эти прямые параллельны.
Спроектируем те же прямые на плоскость \(BCC_1\) в направлении прямой \(AB\). Точки \(B_1\) и \(C\) принадлежат плоскости \(BCC_1\) и являются своими образами. Прямая, проходящая через точку \(A\) параллельно прямой \(AB\), — это сама прямая \(AB\), и она пересекает плоскость \(BCC_1\) в точке \(B\), поэтому образом точки \(A\) является точка \(B\). Прямая \(D_1C_1\) параллельна прямой \(AB\), поэтому образом точки \(D_1\) является точка \(C_1\). Значит, образом прямой \(a\) является прямая \(BB_1\), а образом прямой \(b\) — прямая \(CC_1\), и эти прямые параллельны.
Плоскости \(ABC\) и \(BCC_1\) имеют общие точки \(B\) и \(C\), поэтому они пересекаются по прямой \(BC\). Параллельной проекцией прямых \(a\) и \(b\) на каждую из них являются параллельные прямые, а сами прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются.
Ответ: неверно.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются. Параллельной проекцией прямых \(a\) и \(b\) как на плоскость \(\alpha\), так и на плоскость \(\beta\) являются параллельные прямые. Верно ли, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны?
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и прямые \(a = AB_1\) и \(b = CD_1\).
Плоскость \(ABB_1\) содержит пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AA_1\), соответственно параллельные пересекающимся прямым \(DC\) и \(DD_1\) плоскости \(DCC_1\), поэтому \(ABB_1 \parallel DCC_1\). Прямая \(AB_1\) лежит в первой из этих плоскостей, прямая \(CD_1\) — во второй, поэтому общих точек у них нет.
Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) куба параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм и \(AB_1 \parallel DC_1\). Прямые \(DC_1\) и \(CD_1\) содержат диагонали квадрата \(DCC_1D_1\) и потому не параллельны, значит, не параллельны и прямые \(AB_1\) и \(CD_1\). Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются.
Спроектируем их на плоскость \(ABC\) в направлении прямой \(AA_1\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\) и являются своими образами. Прямая \(B_1B\) параллельна прямой \(AA_1\), поэтому образом точки \(B_1\) является точка \(B\); прямая \(D_1D\) параллельна прямой \(AA_1\), поэтому образом точки \(D_1\) является точка \(D\). Значит, образом прямой \(a\) является прямая \(AB\), а образом прямой \(b\) — прямая \(DC\), и эти прямые параллельны.
Спроектируем те же прямые на плоскость \(BCC_1\) в направлении прямой \(AB\). Точки \(B_1\) и \(C\) принадлежат плоскости \(BCC_1\) и являются своими образами. Прямая, проходящая через точку \(A\) параллельно прямой \(AB\), — это сама прямая \(AB\), и она пересекает плоскость \(BCC_1\) в точке \(B\), поэтому образом точки \(A\) является точка \(B\). Прямая \(D_1C_1\) параллельна прямой \(AB\), поэтому образом точки \(D_1\) является точка \(C_1\). Значит, образом прямой \(a\) является прямая \(BB_1\), а образом прямой \(b\) — прямая \(CC_1\), и эти прямые параллельны.
Плоскости \(ABC\) и \(BCC_1\) имеют общие точки \(B\) и \(C\), поэтому они пересекаются по прямой \(BC\), то есть эти плоскости пересекающиеся. Параллельной проекцией прямых \(a\) и \(b\) на каждую из них являются параллельные прямые, а сами прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются.
Ответ: неверно.
