Страницы 81-82 номер 7.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Проектирование ведётся на плоскость \(\beta\) в направлении прямой \(l\), параллельной плоскости \(\alpha\). Прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, поэтому не более чем одна из них параллельна прямой \(l\) или лежит на ней.

Первый случай: ни одна из прямых \(a\) и \(b\) не параллельна прямой \(l\) и не лежит на ней.

Проведём через некоторую точку \(A\) прямой \(a\) прямую, параллельную прямой \(l\); вместе с прямой \(a\) она задаёт плоскость \(\gamma\). Все проецирующие прямые точек прямой \(a\) лежат в плоскости \(\gamma\): через каждую точку плоскости \(\gamma\) проходит единственная прямая, параллельная прямой \(l\), и она лежит в этой плоскости. Аналогично строим плоскость \(\delta\), содержащую прямую \(b\) и все проецирующие прямые её точек.

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Проведённая через точку \(A\) прямая параллельна прямой \(l\) и не лежит в плоскости \(\alpha\) (точка \(A\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит), а прямая \(l\) параллельна плоскости \(\alpha\), поэтому и эта прямая параллельна плоскости \(\alpha\). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны, поэтому \(\gamma \parallel \alpha\). Так же получаем \(\delta \parallel \alpha\).

Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) различны: иначе прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися. Две различные плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой, поэтому \(\gamma \parallel \delta\).

Плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому она не параллельна ни плоскости \(\gamma\), ни плоскости \(\delta\): если бы, например, \(\beta \parallel \gamma\), то плоскости \(\beta\) и \(\alpha\) были бы параллельны третьей плоскости \(\gamma\) и потому параллельны между собой. Значит, плоскость \(\beta\) пересекает каждую из плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\), и образами прямых \(a\) и \(b\) являются прямые \(\gamma \cap \beta\) и \(\delta \cap \beta\).

Параллельные плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) пересечены плоскостью \(\beta\), поэтому прямые их пересечения с ней параллельны. Совпасть они не могут: одна лежит в плоскости \(\gamma\), другая — в плоскости \(\delta\), а общих точек у этих плоскостей нет. Значит, проекцией прямых \(a\) и \(b\) являются две параллельные прямые.

Второй случай: одна из прямых, например прямая \(a\), параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней.

Прямая \(l\) пересекает плоскость \(\beta\), поэтому её пересекает и прямая \(a\): иначе прямая \(a\) не имела бы с этой плоскостью общих точек или лежала бы в ней, и тогда прямая \(l\) тоже была бы параллельна плоскости \(\beta\). Обозначим точку пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\) через \(a_1\).

Проецирующей прямой каждой точки прямой \(a\) является сама прямая \(a\), поэтому образом прямой \(a\) является одна эта точка \(a_1\). Прямая \(b\) прямой \(l\) не параллельна и с ней не совпадает, и её образом является прямая \(b_1\).

Точка \(a_1\) прямой \(b_1\) не принадлежит. Действительно, если бы точка \(a_1\) была образом некоторой точки прямой \(b\), то эта точка лежала бы на проецирующей прямой, проходящей через точку \(a_1\). Но проецирующей прямой точки \(a_1\) является прямая \(a\): точка \(a_1\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней. Значит, прямые \(a\) и \(b\) имели бы общую точку, что противоречит тому, что они скрещиваются.

Ответ: две параллельные прямые, если ни одна из прямых \(a\) и \(b\) не задаёт направления проектирования, и прямая и точка вне этой прямой, если одна из них его задаёт.