Страница 81 номер 7.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной.
Пусть фигура \(F\) лежит в плоскости \(\beta\), параллельной плоскости проектирования \(\alpha\), проектирование ведётся в направлении прямой \(l\), пересекающей плоскость \(\alpha\), и \(F_1\) — параллельная проекция фигуры \(F\).
Возьмём две произвольные различные точки \(A\) и \(B\) фигуры \(F\) и их образы \(A_1\) и \(B_1\).
Точки \(A_1\) и \(B_1\) различны. Если бы они совпали, то проецирующие прямые точек \(A\) и \(B\) проходили бы через одну и ту же точку и были бы параллельны прямой \(l\) или совпадали с ней, то есть совпали бы между собой. Тогда у этой прямой были бы две общие точки с плоскостью \(\beta\), и по аксиоме А4 она лежала бы в плоскости \(\beta\); но она имеет общую точку с плоскостью \(\alpha\), а параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) общих точек не имеют.
Значит, прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) различны, а так как каждая из них параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, то \(AA_1 \parallel BB_1\).
Концы \(A\) и \(B\) отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\) принадлежат плоскости \(\beta\), а концы \(A_1\) и \(B_1\) — плоскости \(\alpha\). Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, поэтому \(AA_1 = BB_1\).
В четырёхугольнике \(AA_1B_1B\) стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны и равны, значит, \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, и \(AB = A_1B_1\).
Расстояние между любыми двумя точками фигуры \(F\) при этом преобразовании сохраняется, поэтому параллельное проектирование фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) является движением. Следовательно, фигуры \(F\) и \(F_1\) равны.
Ответ: параллельной проекцией фигуры, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проектирования, является фигура, равная данной.
Докажите, что если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проектирования, то её параллельной проекцией является фигура, равная данной.
Пусть фигура \(F\) лежит в плоскости \(\beta\), параллельной плоскости проектирования \(\alpha\), проектирование ведётся в направлении прямой \(l\), пересекающей плоскость \(\alpha\), и \(F_1\) — параллельная проекция фигуры \(F\).
Возьмём две произвольные различные точки \(A\) и \(B\) фигуры \(F\) и их образы \(A_1\) и \(B_1\).
Точки \(A_1\) и \(B_1\) различны. Действительно, если бы они совпали, то проецирующие прямые точек \(A\) и \(B\) проходили бы через одну и ту же точку и были бы параллельны прямой \(l\) или совпадали с ней, то есть совпали бы между собой. Тогда у этой прямой были бы две общие точки с плоскостью \(\beta\), и по аксиоме А4 она лежала бы в плоскости \(\beta\); но она имеет общую точку с плоскостью \(\alpha\), а параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) общих точек не имеют.
Значит, прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) различны, а так как каждая из них параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, то \(AA_1 \parallel BB_1\).
Концы \(A\) и \(B\) отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\) принадлежат плоскости \(\beta\), а концы \(A_1\) и \(B_1\) — плоскости \(\alpha\). Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, поэтому \(AA_1 = BB_1\).
В четырёхугольнике \(AA_1B_1B\) стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны и равны, значит, \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, и \(AB = A_1B_1\).
Расстояние между любыми двумя точками фигуры \(F\) при этом преобразовании сохраняется, поэтому параллельное проектирование фигуры \(F\) на плоскость \(\alpha\) является движением. Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой фигуры. Следовательно, фигуры \(F\) и \(F_1\) равны.
Ответ: параллельной проекцией фигуры, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проектирования, является фигура, равная данной.
