Страница 81 номер 7.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.
Пусть отрезок \(AB\) параллелен плоскости проектирования \(\alpha\), а проектирование ведётся в направлении прямой \(l\), пересекающей плоскость \(\alpha\).
Прямая \(AB\) не имеет с плоскостью \(\alpha\) общих точек, а прямая \(l\) имеет с ней общую точку, поэтому прямая \(AB\) не совпадает с прямой \(l\).
Прямые \(AB\) и \(l\) не параллельны. Действительно, пусть \(AB \parallel l\). Через две параллельные прямые проходит плоскость; обозначим её \(\gamma\). Плоскости \(\gamma\) и \(\alpha\) различны и имеют общую точку — точку пересечения прямой \(l\) с плоскостью \(\alpha\), — поэтому они пересекаются по прямой \(m\), проходящей через эту точку. Прямая \(m\) лежит в плоскости \(\gamma\) и пересекает прямую \(l\), а в плоскости прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и вторую, поэтому прямая \(m\) пересекает прямую \(AB\). Тогда у прямой \(AB\) есть общая точка с плоскостью \(\alpha\), чего быть не может.
Значит, отрезок \(AB\) не параллелен прямой \(l\) и не лежит на ней, поэтому его параллельной проекцией является отрезок \(A_1B_1\), где точки \(A_1\) и \(B_1\) — образы точек \(A\) и \(B\).
Каждая из проецирующих прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, а совпасть друг с другом они не могут: иначе точки \(A\) и \(B\) лежали бы на одной прямой, параллельной прямой \(l\), то есть отрезок \(AB\) был бы параллелен прямой \(l\). Следовательно, \(AA_1 \parallel BB_1\), и через эти прямые проходит плоскость \(\beta\).
Точки \(A_1\) и \(B_1\) различны и принадлежат обеим плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \(\alpha \cap \beta = A_1B_1\).
Прямая \(AB\) параллельна плоскости \(\alpha\) и лежит в плоскости \(\beta\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1B_1\), поэтому \(AB \parallel A_1B_1\).
В четырёхугольнике \(AA_1B_1B\) стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны и стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны, значит, \(AA_1B_1B\) — параллелограмм, и \(AB = A_1B_1\).
Ответ: параллельной проекцией отрезка, параллельного плоскости проектирования, является отрезок, равный данному.
Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.
Пусть отрезок \(AB\) параллелен плоскости проектирования \(\alpha\), а проектирование ведётся в направлении прямой \(l\), пересекающей плоскость \(\alpha\).
Прямая \(AB\) не имеет с плоскостью \(\alpha\) общих точек, а прямая \(l\) имеет с ней общую точку, поэтому прямая \(AB\) не совпадает с прямой \(l\). Прямые \(AB\) и \(l\) не параллельны. Действительно, пусть \(AB \parallel l\). Через две параллельные прямые проходит плоскость; обозначим её \(\gamma\). Плоскости \(\gamma\) и \(\alpha\) различны и имеют общую точку — точку пересечения прямой \(l\) с плоскостью \(\alpha\), — поэтому они пересекаются по прямой \(m\), проходящей через эту точку. Прямые \(m\) и \(AB\) лежат в плоскости \(\gamma\), причём прямая \(m\) пересекает прямую \(l\), а в плоскости прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и вторую. Значит, прямая \(m\) пересекает прямую \(AB\), и у прямой \(AB\) есть общая точка с плоскостью \(\alpha\), чего быть не может.
Значит, отрезок \(AB\) не параллелен прямой \(l\) и не лежит на ней, поэтому его параллельной проекцией является отрезок \(A_1B_1\), где точки \(A_1\) и \(B_1\) — образы точек \(A\) и \(B\).
Каждая из проецирующих прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельна прямой \(l\) или совпадает с ней, а совпасть друг с другом они не могут: иначе точки \(A\) и \(B\) лежали бы на одной прямой, параллельной прямой \(l\), то есть отрезок \(AB\) был бы параллелен прямой \(l\). Следовательно, \(AA_1 \parallel BB_1\), и через эти прямые проходит плоскость \(\beta\).
Точки \(A_1\) и \(B_1\) различны: они лежат на параллельных прямых \(AA_1\) и \(BB_1\), а у параллельных прямых общих точек нет. Обе эти точки принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), поэтому \(\alpha \cap \beta = A_1B_1\).
Прямая \(AB\) параллельна плоскости \(\alpha\) и лежит в плоскости \(\beta\), которая пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1B_1\). Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой, поэтому \(AB \parallel A_1B_1\).
В четырёхугольнике \(AA_1B_1B\) стороны \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны и стороны \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны, значит, \(AA_1B_1B\) — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому \(AB = A_1B_1\).
Ответ: параллельной проекцией отрезка, параллельного плоскости проектирования, является отрезок, равный данному.
