Страница 81 номер 7.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 7.27 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте образ данного куба при параллельном переносе, в результате которого: 1) образом точки \(A\) является точка \(D\); 2) образом точки \(B\) является точка \(C_1\).
Образом куба при параллельном переносе является равный ему куб, поэтому достаточно построить образы вершин. Обозначим образ вершины \(A\) через \(A'\), образ вершины \(B\) — через \(B'\) и так далее.
1) Образом точки \(A\) является точка \(D\), значит, каждую точку смещают в направлении от \(A\) к \(D\) на расстояние \(AD\).
Отрезки \(BC\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) параллельны отрезку \(AD\), равны ему и одинаково с ним направлены, поэтому \(B' = C\), \(A_1' = D_1\), \(B_1' = C_1\). Образы \(C'\), \(D'\), \(C_1'\), \(D_1'\) вершин \(C\), \(D\), \(C_1\), \(D_1\) получены тем же смещением.
Образом грани \(ABB_1A_1\) является грань \(DCC_1D_1\), поэтому образ примыкает к данному кубу по этой грани.
2) Образом точки \(B\) является точка \(C_1\), значит, каждую точку смещают в направлении от \(B\) к \(C_1\) на расстояние \(BC_1\) — вдоль диагонали грани \(BCC_1B_1\).
Отрезок \(AB\) параллелен отрезку \(D_1C_1\) и равен ему, поэтому четырёхугольник \(ABC_1D_1\) — параллелограмм. Отсюда отрезок \(AD_1\) параллелен отрезку \(BC_1\), равен ему и одинаково с ним направлен, то есть \(A' = D_1\).
Образом ребра \(AB\) является ребро \(D_1C_1\), поэтому у куба и его образа есть общее ребро \(D_1C_1\).
Ответ: 1) куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\), равный данному, у которого \(A' = D\), \(B' = C\), \(A_1' = D_1\), \(B_1' = C_1\); он примыкает к данному кубу по грани \(DCC_1D_1\); 2) куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\), равный данному, у которого \(A' = D_1\), \(B' = C_1\); у него с данным кубом общее ребро \(D_1C_1\).
На рисунке 7.27 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте образ данного куба при параллельном переносе, в результате которого: 1) образом точки \(A\) является точка \(D\); 2) образом точки \(B\) является точка \(C_1\).
При параллельном переносе все точки фигуры смещают в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, поэтому образом куба является равный ему куб, и достаточно построить образы вершин. Обозначим образ вершины \(A\) через \(A'\), образ вершины \(B\) — через \(B'\) и так далее.
1) Образом точки \(A\) является точка \(D\), значит, каждую точку смещают в направлении от \(A\) к \(D\) на расстояние \(AD\), то есть на ребро куба.
Отрезки \(BC\), \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) параллельны отрезку \(AD\), равны ему и одинаково с ним направлены, поэтому \(B' = C\), \(A_1' = D_1\), \(B_1' = C_1\). Образы \(C'\), \(D'\), \(C_1'\), \(D_1'\) вершин \(C\), \(D\), \(C_1\), \(D_1\) получены тем же смещением.
Образом грани \(ABB_1A_1\) является грань \(DCC_1D_1\), поэтому образ примыкает к данному кубу по этой грани.
2) Образом точки \(B\) является точка \(C_1\), значит, каждую точку смещают в направлении от \(B\) к \(C_1\) на расстояние \(BC_1\) — вдоль диагонали грани \(BCC_1B_1\).
Отрезок \(AB\) параллелен отрезку \(D_1C_1\) и равен ему, поэтому четырёхугольник \(ABC_1D_1\) — параллелограмм. Отсюда отрезок \(AD_1\) параллелен отрезку \(BC_1\), равен ему и одинаково с ним направлен, то есть \(A' = D_1\).
Образом ребра \(AB\) является ребро \(D_1C_1\), поэтому у куба и его образа есть общее ребро \(D_1C_1\).
Ответ: 1) куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\), равный данному, у которого \(A' = D\), \(B' = C\), \(A_1' = D_1\), \(B_1' = C_1\); он примыкает к данному кубу по грани \(DCC_1D_1\); 2) куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\), равный данному, у которого \(A' = D_1\), \(B' = C_1\); у него с данным кубом общее ребро \(D_1C_1\).
