Страница 81 номер 7.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 7.26 изображён тетраэдр \(DABC\), на ребре \(AB\) которого отметили точку \(M\). Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно: 1) вершины \(A\); 2) точки \(M\).
Центральная симметрия является движением, поэтому образом тетраэдра \(DABC\) служит равный ему тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) — образы вершин \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Чтобы построить образ вершины, проводим через неё и центр симметрии прямую и откладываем за центром отрезок, равный отрезку от вершины до центра.
1) Центром симметрии служит вершина \(A\); она переходит сама в себя, поэтому \(A_1 = A\). Рёбра \(AB\), \(AC\) и \(AD\) переходят в отрезки \(AB_1\), \(AC_1\) и \(AD_1\), лежащие на продолжениях этих рёбер за точку \(A\), поэтому образ примыкает к данному тетраэдру в вершине \(A\) и других общих точек с ним не имеет.
2) Центром симметрии служит точка \(M\) ребра \(AB\). Прямая \(AB\) проходит через центр симметрии, поэтому её образом является она сама: так как \(AM < MB\), точка \(A\) переходит в точку \(A_1\) ребра \(AB\), а точка \(B\) — в точку \(B_1\) на продолжении этого ребра за точку \(A\). Общими точками данного тетраэдра и его образа являются только точки отрезка \(AA_1\).
Ответ: образом данного тетраэдра в каждом случае является равный ему тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\); при симметрии относительно вершины \(A\) он имеет с данным тетраэдром единственную общую точку \(A\), а при симметрии относительно точки \(M\) — общий отрезок \(AA_1\) ребра \(AB\).
На рисунке 7.26 изображён тетраэдр \(DABC\), на ребре \(AB\) которого отметили точку \(M\). Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно: 1) вершины \(A\); 2) точки \(M\).
Центральная симметрия является движением, поэтому образом тетраэдра \(DABC\) служит равный ему тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) — образы вершин \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Чтобы построить образ вершины, проводим через неё и центр симметрии прямую и откладываем за центром отрезок, равный отрезку от вершины до центра: центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего каждую вершину с её образом.
1) Центром симметрии служит вершина \(A\); она переходит сама в себя, поэтому \(A_1 = A\). Рёбра \(AB\), \(AC\) и \(AD\) переходят в отрезки \(AB_1\), \(AC_1\) и \(AD_1\), лежащие на продолжениях этих рёбер за точку \(A\). Поэтому образ примыкает к данному тетраэдру в вершине \(A\) и других общих точек с ним не имеет.
2) Центром симметрии служит точка \(M\) ребра \(AB\); она переходит сама в себя. Прямая \(AB\) проходит через центр симметрии, поэтому её образом является она сама: так как \(AM < MB\), точка \(A\) переходит в точку \(A_1\) ребра \(AB\), а точка \(B\) — в точку \(B_1\) на продолжении этого ребра за точку \(A\). Общими точками данного тетраэдра и его образа являются только точки отрезка \(AA_1\).
Ответ: образом данного тетраэдра в каждом случае является равный ему тетраэдр \(D_1A_1B_1C_1\); при симметрии относительно вершины \(A\) он имеет с данным тетраэдром единственную общую точку \(A\), а при симметрии относительно точки \(M\) — общий отрезок \(AA_1\) ребра \(AB\).
