Страница 80 номер 7.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 7.25 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), на ребре \(CD\) которого отметили точку \(M\). Постройте образ данного куба при симметрии относительно: 1) вершины \(B_1\); 2) точки \(M\).
Обозначим образ вершины \(A\) через \(A'\), образ вершины \(B\) — через \(B'\) и так далее: индекс 1 у куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) уже занят.
Центральная симметрия является движением, поэтому образом куба служит равный ему куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\). Чтобы построить образ вершины, проводим через неё и центр симметрии прямую и откладываем за центром отрезок, равный отрезку от вершины до центра.
1) Центром симметрии служит вершина \(B_1\); она переходит сама в себя, поэтому \(B_1' = B_1\). Рёбра \(B_1A_1\), \(B_1C_1\) и \(B_1B\) переходят в отрезки \(B_1A_1'\), \(B_1C_1'\) и \(B_1B'\), лежащие на продолжениях этих рёбер за точку \(B_1\), поэтому образ примыкает к данному кубу в вершине \(B_1\) и других общих точек с ним не имеет.
2) Центром симметрии служит точка \(M\) ребра \(CD\). Прямая \(CD\) проходит через центр симметрии, поэтому её образом является она сама: так как \(MC < MD\), точка \(C\) переходит в точку \(C'\) ребра \(CD\), а точка \(D\) — в точку \(D'\) на продолжении этого ребра за точку \(C\). Общими точками данного куба и его образа являются только точки отрезка \(CC'\).
Ответ: образом данного куба в каждом случае является равный ему куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\); при симметрии относительно вершины \(B_1\) он имеет с данным кубом единственную общую точку \(B_1\), а при симметрии относительно точки \(M\) — общий отрезок \(CC'\) ребра \(CD\).
На рисунке 7.25 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), на ребре \(CD\) которого отметили точку \(M\). Постройте образ данного куба при симметрии относительно: 1) вершины \(B_1\); 2) точки \(M\).
Обозначим образ вершины \(A\) через \(A'\), образ вершины \(B\) — через \(B'\) и так далее: индекс 1 у куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) уже занят.
Центральная симметрия является движением, поэтому образом куба служит равный ему куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\). Чтобы построить образ вершины, проводим через неё и центр симметрии прямую и откладываем за центром отрезок, равный отрезку от вершины до центра: центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего каждую вершину с её образом.
1) Центром симметрии служит вершина \(B_1\); она переходит сама в себя, поэтому \(B_1' = B_1\). Рёбра \(B_1A_1\), \(B_1C_1\) и \(B_1B\) переходят в отрезки \(B_1A_1'\), \(B_1C_1'\) и \(B_1B'\), лежащие на продолжениях этих рёбер за точку \(B_1\). Поэтому образ примыкает к данному кубу в вершине \(B_1\) и других общих точек с ним не имеет.
2) Центром симметрии служит точка \(M\) ребра \(CD\). Она переходит сама в себя. Прямая \(CD\) проходит через центр симметрии, поэтому её образом является она сама: так как \(MC < MD\), точка \(C\) переходит в точку \(C'\) ребра \(CD\), а точка \(D\) — в точку \(D'\) на продолжении этого ребра за точку \(C\). Общими точками данного куба и его образа являются только точки отрезка \(CC'\).
Ответ: образом данного куба в каждом случае является равный ему куб \(A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'\); при симметрии относительно вершины \(B_1\) он имеет с данным кубом единственную общую точку \(B_1\), а при симметрии относительно точки \(M\) — общий отрезок \(CC'\) ребра \(CD\).
