Страница 66 номер 6.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\alpha\), в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.
Параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) задают некоторую плоскость. Она отлична от плоскости \(\alpha\) (точка \(A_1\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит) и имеет с ней общие точки \(A\) и \(B\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому проведённая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AB\). Так же она пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(A_1B_1\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а проведённая плоскость пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\). В четырёхугольнике \(ABB_1A_1\) противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, и \(AB = A_1B_1\).
Аналогично \(BC = B_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\).
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) имеют соответственно равные стороны, поэтому они равны по третьему признаку равенства треугольников.
Ответ: треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.
Треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\alpha\), в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны, поэтому они задают некоторую плоскость. Эта плоскость отлична от плоскости \(\alpha\) (точка \(A_1\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит) и имеет с ней общие точки \(A\) и \(B\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому проведённая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AB\). Так же она пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(A_1B_1\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а проведённая плоскость пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\). В четырёхугольнике \(ABB_1A_1\) противоположные стороны попарно параллельны (\(AB \parallel A_1B_1\) и \(AA_1 \parallel BB_1\)), значит, он параллелограмм, и \(AB = A_1B_1\).
Аналогично \(BC = B_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\).
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) имеют соответственно равные стороны, поэтому они равны по третьему признаку равенства треугольников.
Ответ: треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.
