Страница 66 номер 6.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Отрезок \(AB\) и точка \(C\) лежат в плоскости \(\alpha\), точка \(D\) — в плоскости \(\beta\) (рис. 6.14). Постройте линию пересечения: 1) плоскости \(\beta\) и плоскости \(ABD\); 2) плоскости \(\beta\) и плоскости \(BCD\).
1) Точки \(A\) и \(B\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABD\), а эти плоскости различны, так как точка \(D\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(ABD\) пересекаются по прямой \(AB\).
Плоскость \(ABD\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(D\) и отлична от неё, поскольку точка \(A\) плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(D\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(ABD\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(D\) параллельно прямой \(AB\).
2) Так же точки \(B\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(BCD\), а эти плоскости различны, так как точка \(D\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит, поэтому по аксиоме А4 плоскости \(\alpha\) и \(BCD\) пересекаются по прямой \(BC\). Плоскость \(BCD\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(D\) и отлична от неё, поскольку точка \(B\) плоскости \(\beta\) не принадлежит, поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(D\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(BCD\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(D\) параллельно прямой \(BC\).
Ответ: 1) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(ABD\) — прямая, проходящая через точку \(D\) параллельно прямой \(AB\); 2) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(BCD\) — прямая, проходящая через точку \(D\) параллельно прямой \(BC\).
Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Отрезок \(AB\) и точка \(C\) лежат в плоскости \(\alpha\), точка \(D\) — в плоскости \(\beta\) (рис. 6.14). Постройте линию пересечения: 1) плоскости \(\beta\) и плоскости \(ABD\); 2) плоскости \(\beta\) и плоскости \(BCD\).
1) Точки \(A\) и \(B\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABD\). Эти плоскости различны, так как точка \(D\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(ABD\) пересекаются по прямой \(AB\).
Плоскость \(ABD\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(D\) и отлична от неё, поскольку точка \(A\) плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(D\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(ABD\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(D\) параллельно прямой \(AB\).
2) Точки \(B\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(BCD\), а эти плоскости различны, так как точка \(D\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(BC\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(BCD\) пересекаются по прямой \(BC\).
Плоскость \(BCD\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(D\) и отлична от неё, поскольку точка \(B\) плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(D\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(BCD\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(D\) параллельно прямой \(BC\).
Ответ: 1) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(ABD\) — прямая, проходящая через точку \(D\) параллельно прямой \(AB\); 2) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(BCD\) — прямая, проходящая через точку \(D\) параллельно прямой \(BC\).
