Страница 66 номер 6.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. В плоскости \(\alpha\) выбраны точки \(C\) и \(D\), а в плоскости \(\beta\) — точки \(C_1\) и \(D_1\) такие, что прямые \(CC_1\) и \(DD_1\) параллельны. Найдите отрезки \(DD_1\) и \(C_1D_1\), если \(CD = 12\) см, \(CC_1 = 4\) см.
Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(C \in \alpha\), \(D \in \alpha\)
\(C_1 \in \beta\), \(D_1 \in \beta\)
\(CC_1 \parallel DD_1\)
\(CD = 12\) см
\(CC_1 = 4\) см
Найти: отрезки \(DD_1\) и \(C_1D_1\).
Решение:
Параллельные прямые \(CC_1\) и \(DD_1\) задают некоторую плоскость \(\gamma\). Она имеет с плоскостью \(\alpha\) общие точки \(C\) и \(D\) и отлична от неё, так как точка \(C_1\) плоскости \(\gamma\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(CD\) лежит в каждой из плоскостей \(\gamma\) и \(\alpha\), а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому \(\gamma\) пересекает \(\alpha\) по прямой \(CD\). Так же \(\gamma\) пересекает \(\beta\) по прямой \(C_1D_1\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(\gamma\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: \(CD \parallel C_1D_1\).
В четырёхугольнике \(CC_1D_1D\) противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, и его противоположные стороны равны: \(DD_1 = CC_1 = 4\) см, \(C_1D_1 = CD = 12\) см.
Ответ: \(DD_1 = 4\) см, \(C_1D_1 = 12\) см.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. В плоскости \(\alpha\) выбраны точки \(C\) и \(D\), а в плоскости \(\beta\) — точки \(C_1\) и \(D_1\) такие, что прямые \(CC_1\) и \(DD_1\) параллельны. Найдите отрезки \(DD_1\) и \(C_1D_1\), если \(CD = 12\) см, \(CC_1 = 4\) см.
Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(C \in \alpha\), \(D \in \alpha\)
\(C_1 \in \beta\), \(D_1 \in \beta\)
\(CC_1 \parallel DD_1\)
\(CD = 12\) см
\(CC_1 = 4\) см
Найти: отрезки \(DD_1\) и \(C_1D_1\).
Решение:
Параллельные прямые \(CC_1\) и \(DD_1\) задают некоторую плоскость \(\gamma\).
Плоскость \(\gamma\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общие точки \(C\) и \(D\); эти плоскости различны, так как точка \(C_1\) плоскости \(\gamma\) лежит в плоскости \(\beta\) и потому плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(CD\) лежит в каждой из плоскостей \(\gamma\) и \(\alpha\), а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому \(\gamma\) пересекает \(\alpha\) по прямой \(CD\). Так же \(\gamma\) пересекает \(\beta\) по прямой \(C_1D_1\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(\gamma\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: \(CD \parallel C_1D_1\).
В четырёхугольнике \(CC_1D_1D\) противоположные стороны попарно параллельны: \(CC_1 \parallel DD_1\) и \(CD \parallel C_1D_1\). Значит, \(CC_1D_1D\) — параллелограмм, и его противоположные стороны равны: \(DD_1 = CC_1 = 4\) см, \(C_1D_1 = CD = 12\) см.
Ответ: \(DD_1 = 4\) см, \(C_1D_1 = 12\) см.
