Страница 65 номер 6.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение: 1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны; 2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?
1) Утверждение неверно.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Плоскости \(ABB_1\) и \(ABC\) различны и имеют общие точки \(A\) и \(B\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому прямая \(AB\) — линия пересечения этих плоскостей, и параллельными они не являются.
Прямые \(A_1B_1\) и \(DC\) параллельны прямой \(AB\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(ABCD\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(A_1B_1 \parallel DC\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим плоскость, проходящую через прямые \(A_1B_1\) и \(DC\), через \(\gamma\).
Плоскости \(\gamma\) и \(ABB_1\) различны (точка \(D\) плоскости \(ABB_1\) не принадлежит) и имеют общие точки \(A_1\) и \(B_1\). По аксиоме А4 прямая \(A_1B_1\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(ABB_1\) по прямой \(A_1B_1\). Так же плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(DC\).
Получилось, что третья плоскость пересекает плоскости \(ABB_1\) и \(ABC\) по параллельным прямым \(A_1B_1\) и \(DC\), а сами эти плоскости пересекаются по прямой \(AB\).
2) Утверждение неверно.
Возьмём тот же куб и плоскости \(ABC\) и \(\gamma\), где \(\gamma\) проходит через параллельные прямые \(A_1B_1\) и \(DC\). Эти плоскости различны и имеют общие точки \(D\) и \(C\). По аксиоме А4 прямая \(DC\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому прямая \(DC\) — линия их пересечения, и параллельными они не являются.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\). Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(ABC\), точки \(A_1\) и \(B_1\) — в плоскости \(\gamma\), поэтому отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) заключены между этими плоскостями, причём \(AA_1 = BB_1\) как рёбра куба.
Получилось, что отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, а сами плоскости пересекаются.
Ответ: оба утверждения неверны.
Верно ли утверждение: 1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны; 2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?
1) Утверждение неверно.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Плоскости \(ABB_1\) и \(ABC\) различны и имеют общие точки \(A\) и \(B\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому прямая \(AB\) — линия пересечения этих плоскостей. Общие точки у плоскостей есть, значит, параллельными они не являются.
Прямая \(A_1B_1\) параллельна прямой \(AB\) как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямая \(DC\) параллельна прямой \(AB\) как противоположные стороны квадрата \(ABCD\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(A_1B_1 \parallel DC\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим плоскость, проходящую через прямые \(A_1B_1\) и \(DC\), через \(\gamma\).
Плоскости \(\gamma\) и \(ABB_1\) различны (точка \(D\) плоскости \(ABB_1\) не принадлежит) и имеют общие точки \(A_1\) и \(B_1\). По аксиоме А4 прямая \(A_1B_1\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(ABB_1\) по прямой \(A_1B_1\). Так же плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(DC\): эти плоскости различны (точка \(A_1\) плоскости \(ABC\) не принадлежит) и имеют общие точки \(D\) и \(C\).
Получилось, что третья плоскость пересекает плоскости \(ABB_1\) и \(ABC\) по параллельным прямым \(A_1B_1\) и \(DC\), а сами эти плоскости пересекаются по прямой \(AB\).
2) Утверждение неверно.
Возьмём тот же куб и плоскости \(ABC\) и \(\gamma\), где \(\gamma\) проходит через параллельные прямые \(A_1B_1\) и \(DC\). Эти плоскости различны и имеют общие точки \(D\) и \(C\). По аксиоме А4 прямая \(DC\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому прямая \(DC\) — линия пересечения плоскостей \(ABC\) и \(\gamma\), и параллельными эти плоскости не являются.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\). Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(ABC\), точки \(A_1\) и \(B_1\) — в плоскости \(\gamma\), поэтому отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) заключены между этими плоскостями. При этом \(AA_1 = BB_1\) как рёбра куба.
Получилось, что отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, а сами плоскости пересекаются.
Ответ: оба утверждения неверны.
