Страница 65 номер 6.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Можно ли утверждать, что плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости трапеции, если плоскость \(\alpha\) параллельна: 1) основаниям трапеции; 2) боковым сторонам трапеции?
Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) — её основания, а \(AB\) и \(CD\) — боковые стороны.
1) Основания трапеции параллельны между собой, поэтому двух пересекающихся прямых они не дают и следствие из признака параллельности двух плоскостей здесь неприменимо.
В плоскости трапеции проведём прямую \(c\), параллельную основаниям и отличную от прямых \(AD\) и \(BC\), а через прямую \(c\) и какую-нибудь точку вне плоскости трапеции проведём плоскость \(\alpha\). Прямая \(c\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость трапеции по прямой \(c\).
Прямая \(AD\) не лежит в плоскости \(\alpha\) — иначе она совпала бы с прямой \(c\). Прямая \(AD\) параллельна прямой \(c\) плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel \alpha\). Так же \(BC \parallel \alpha\). Получилось, что плоскость \(\alpha\) параллельна обоим основаниям трапеции, а плоскость трапеции пересекает её по прямой \(c\).
2) Боковые стороны трапеции по определению не параллельны, поэтому содержащие их прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются; пусть \(S\) — точка их пересечения. Эти две пересекающиеся прямые лежат в плоскости трапеции и параллельны плоскости \(\alpha\), поэтому по следствию из признака параллельности двух плоскостей плоскость трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).
Ответ: 1) нельзя; 2) можно — плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости трапеции.
Можно ли утверждать, что плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости трапеции, если плоскость \(\alpha\) параллельна: 1) основаниям трапеции; 2) боковым сторонам трапеции?
Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) — её основания, а \(AB\) и \(CD\) — боковые стороны.
1) Основания трапеции параллельны между собой, поэтому двух пересекающихся прямых они не дают и следствие из признака параллельности двух плоскостей здесь неприменимо.
В плоскости трапеции проведём прямую \(c\), параллельную основаниям и отличную от прямых \(AD\) и \(BC\), а через прямую \(c\) и какую-нибудь точку вне плоскости трапеции проведём плоскость \(\alpha\). Прямая \(c\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость трапеции по прямой \(c\).
Прямая \(AD\) не лежит в плоскости \(\alpha\) — иначе она совпала бы с прямой \(c\). Прямая \(AD\) параллельна прямой \(c\) плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel \alpha\). Так же \(BC \parallel \alpha\). Получилось, что плоскость \(\alpha\) параллельна обоим основаниям трапеции, а плоскость трапеции пересекает её по прямой \(c\).
2) Условие «плоскость \(\alpha\) параллельна боковым сторонам трапеции» означает, что прямые \(AB\) и \(CD\), содержащие боковые стороны, параллельны плоскости \(\alpha\).
Боковые стороны трапеции по определению не параллельны, поэтому прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются; пусть \(S\) — точка их пересечения. Эти две пересекающиеся прямые лежат в плоскости трапеции и параллельны плоскости \(\alpha\), поэтому по следствию из признака параллельности двух плоскостей плоскость трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).
Ответ: 1) нельзя; 2) можно — плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости трапеции.
