Страница 65 номер 6.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\). Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости \(\alpha\)?
Если данные диагонали пересекаются, вывод верен: две пересекающиеся прямые плоскости шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\), и по следствию из признака параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны.
Однако у правильного шестиугольника \(ABCDEF\) есть и параллельные диагонали: противоположные стороны \(CD\) и \(AF\) параллельны и равны, а в четырёхугольнике \(ACDF\) они являются противоположными сторонами, поэтому \(ACDF\) — параллелограмм, и \(AC \parallel FD\).
В плоскости шестиугольника проведём прямую \(c\), параллельную диагонали \(AC\) и отличную от прямых \(AC\) и \(FD\), а через прямую \(c\) и какую-нибудь точку вне плоскости шестиугольника проведём плоскость \(\alpha\). Прямая \(c\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость шестиугольника по прямой \(c\).
Диагональ \(AC\) не лежит в плоскости \(\alpha\) — иначе она была бы общей прямой этих плоскостей и совпала бы с прямой \(c\). Прямая \(AC\) параллельна прямой \(c\) плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(AC \parallel \alpha\). Так как \(FD \parallel AC\) и \(AC \parallel c\), то \(FD \parallel c\), и по тому же признаку \(FD \parallel \alpha\).
Получилось, что две диагонали шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\), а плоскость шестиугольника пересекает её по прямой \(c\).
Ответ: нельзя; утверждение верно только тогда, когда данные диагонали пересекаются.
Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\). Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости \(\alpha\)?
Если данные диагонали пересекаются, вывод верен: две пересекающиеся прямые плоскости шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\), и по следствию из признака параллельности двух плоскостей плоскость шестиугольника параллельна плоскости \(\alpha\).
Однако у правильного шестиугольника есть и параллельные диагонали. Обозначим шестиугольник \(ABCDEF\). Его противоположные стороны \(CD\) и \(AF\) параллельны и равны, а в четырёхугольнике \(ACDF\) они являются противоположными сторонами, поэтому \(ACDF\) — параллелограмм, и \(AC \parallel FD\).
В плоскости шестиугольника проведём прямую \(c\), параллельную диагонали \(AC\) и отличную от прямых \(AC\) и \(FD\), а через прямую \(c\) и какую-нибудь точку вне плоскости шестиугольника проведём плоскость \(\alpha\). Прямая \(c\) лежит в каждой из этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость шестиугольника по прямой \(c\).
Диагональ \(AC\) не лежит в плоскости \(\alpha\) — иначе она была бы общей прямой этих плоскостей и совпала бы с прямой \(c\). Прямая \(AC\) параллельна прямой \(c\) плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(AC \parallel \alpha\). Так как \(FD \parallel AC\) и \(AC \parallel c\), то \(FD \parallel c\), и по тому же признаку \(FD \parallel \alpha\).
Получилось, что две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости \(\alpha\), а плоскость шестиугольника пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\).
Ответ: нельзя; утверждение верно только тогда, когда данные диагонали пересекаются.
