Страница 65 номер 6.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(DA\), \(DB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) так, что \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\). Докажите, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
Треугольники \(DEF\) и \(DAB\) имеют общий угол \(D\), а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны: \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}\). Поэтому эти треугольники подобны, откуда \(\angle DEF = \angle DAB\), а это соответственные углы при прямых \(EF\) и \(AB\) и секущей \(DA\). Значит, \(EF \parallel AB\).
Точно так же из подобия треугольников \(DEK\) и \(DAC\) получаем \(EK \parallel AC\).
Прямые \(EF\) и \(EK\) различны: иначе прямые \(AB\) и \(AC\) были бы параллельны одной и той же прямой, а значит, параллельны между собой, тогда как они пересекаются в точке \(A\). Следовательно, прямые \(EF\) и \(EK\) пересекаются в точке \(E\).
Пересекающиеся прямые \(EF\) и \(EK\) лежат в плоскости \(EFK\), прямые \(AB\) и \(AC\) — в плоскости \(ABC\), причём \(EF \parallel AB\) и \(EK \parallel AC\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
Ответ: плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
На рёбрах \(DA\), \(DB\) и \(DC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) так, что \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}\). Докажите, что плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
Точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(DA\) и \(DB\) треугольника \(ADB\), причём \(\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}\). Треугольники \(DEF\) и \(DAB\) имеют общий угол \(D\), а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, поэтому эти треугольники подобны. Отсюда \(\angle DEF = \angle DAB\), а это соответственные углы при прямых \(EF\) и \(AB\) и секущей \(DA\). Значит, \(EF \parallel AB\).
Точно так же из подобия треугольников \(DEK\) и \(DAC\) получаем \(EK \parallel AC\).
Прямые \(EF\) и \(EK\) различны: иначе прямые \(AB\) и \(AC\) были бы параллельны одной и той же прямой, а значит, параллельны между собой, тогда как они пересекаются в точке \(A\). Следовательно, прямые \(EF\) и \(EK\) пересекаются в точке \(E\).
Пересекающиеся прямые \(EF\) и \(EK\) лежат в плоскости \(EFK\), прямые \(AB\) и \(AC\) — в плоскости \(ABC\), причём \(EF \parallel AB\) и \(EK \parallel AC\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
Ответ: плоскости \(EFK\) и \(ABC\) параллельны.
